6-1. 다변량 확률변수의 변환

1. 정의
   
   1) 다변량 확률변수에서 역변환이 정의 가능할 때(즉 역함수가 존재할 때) 역변환으로 함수를 재정의 하는것을 변환이라고 한다
   
   2) $y_{1} = u_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})$, $y_{2} = u_{2}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$, ... , $y_{n} = u_{n}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$을 정의할 때
   ${(1)}$ $x_{1} = w_{1}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, $x_{2} = w_{2}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, ... ,$x_{n} = w_{n}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$이라는 역함수를 정의할 수 있으면 
   ${(2)}$ 함수와 역함수는 다음과 같은 다중적분식으로 관계를 정의할 수 있다.
   
   -.$ \int ... \int_{A} f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$ = $ \int \int_{A} f(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) \cdot |J| dy_{1}dy_{2}...dy_{n}$
   이 때, |J|는 변환 야코비안으로 아래와 같다.
   $$ |J| = det \begin{vmatrix}
    \frac{x_{1}}{\partial y_{1}}& ... & \frac{x_{1}}{\partial y_{2}} \\
   \vdots  & \ddots & \vdots \\
   \frac{x_{2}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{x_{2}}{\partial y_{2}} \\
   \end{vmatrix}$$
   
   2) 한편, 다변량 확률분포의 특성상 전단사 조건을 만족하지 못하는 경우가 존재한다.
   
   ${(1)}$ 예를 들어, $Y = X^{2}$이고, $X = \sqrt{y}$ 라고 한다면 이 때 $X = (2,-2) \rightarrow \sqrt{4}$ 이다. 
   
   
   
   ${(2)}$ 이 경우 전단사 조건을 만족하지 못하지만, X를 둘로 쪼개면 전단사 조건을 만족 가능하다
   
   ${(3)}$ 이 때 CDF $g(y)$는
   -. $ \int ... \int_{A} f(w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}) \cdot |J| dy_{1}dy_{2}...dy_{n}$ + $ \int ... \int_{A^{c}} f(w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}) \cdot |J| dy_{1}dy_{2}...dy_{n}$로 공간을 쪼갠다.
   
   
2. 예제
   1) 결합 pdf 변환 예시
   
   $({1})$ 주어진 조건이
   
   -. $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \left\{\begin{matrix}
    48x_{1}x_{2}x_{3}, \quad 0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} <1 \\ x \quad else 
   \end{matrix}\right. $ 이고
   
   -. $y_{1} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$, $y_{2} = \frac{x_{2}}{x_{3}}$, $y_{3} = x_{3}$ 일때
   ${(2)}$ 그 역변환을 구하면
   
   -. 확률변수의 역변환을 정의하면 $x_{1} = y_{1}y_{2}y_{3}$ , $x_{2} = y_{2}y_{3}$ , $x_{3}=y_{3}$
   
   -, 이 때 범위를 직접 그려서 정의해보면 $0 < y_{1}y_{2}y_{3} < y_{2}y_{3} < y_{3} < 1$
   
   -. 변환 야코비안은 $$ |J| = det \begin{vmatrix}
    \frac{\partial y_{1}y_{2}y_{3}}{\partial y_{1}}& \frac{\partial y_{1}y_{2}y_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial y_{1}y_{2}y_{3}}{\partial y_{3}} \\
   \frac{\partial y_{2}y_{3}}{\partial y_{1}}  & \frac{\partial y_{2}y_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial y_{2}y_{3}}{\partial y_{3}} \\
   \frac{\partial y_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial y_{3}} \\
   \end{vmatrix} =
   det \begin{vmatrix}
    y_{2}y_{3} &y_{1}y_{3} &y_{1}y_{2} \\
   0  &y_{3} &y_{2} \\
   0 & 0 & 1 \\
   \end{vmatrix} = y_{2}y_{3}^{2}$$
   
   ${(3)}$ 변환의 결합 pdf는
   
   -. $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \left\{\begin{matrix}
    48y_{1}y_{2}y_{3}\cdot y_{2}y_{3} \cdot y_{3} = 48y_{1}y_{2}^{3}y_{3}^{5}, \quad 0 < y_{i} <1 \\ x \quad else 
   \end{matrix}\right. $
   ${(4)}$ 변환의 주변 pdf를 구하면
   
   -. $f(x_{1})$ = $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 48y_{1}y_{2}^{3}y_{3}^{5}dy_{2}dy_{3}$ = $48\int^{1}_{0}\begin{bmatrix}
   \frac{1}{4}y_{1}y_{3}^{5}
   \end{bmatrix}^{1}_{0}dy_{3} $ = $48 \begin{bmatrix}\frac{1}{24} y_{1} \end{bmatrix}^{1}_{0}$ = $2y_{1}$
   
   -. $f(x_{2})$ = $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 48y_{1}y_{2}^{3}y_{3}^{5}dy_{1}dy_{3}$ = $4y_{2}^{3}$
   
   -. $f(x_{3})$ = $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 48y_{1}y_{2}^{3}y_{3}^{5}dy_{1}dy_{2}$ = $6y_{3}^{5}$
   
   -. 이 때, $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2}) \cdot f(x_{3})$ 이므로, 각 확률변수들은 서로 독립임이 보장된다.