22. 중적분과 치환

1. 이중적분
   1) 다중적분에 들어가기 전에, 이변수 함수의 이중적분을 먼저 살펴보자
   
   2) 이중적분은 이차원의 면을 누적하여 부피를 만들어내는 적분이다.

   $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)dxdy $$ 단, f(x,y)는 구간 ${a \leq y \leq b}$, ${c \leq x \leq d}$에서 적분 가능해야한다.

   
   ${(1)}$ 일변수 함수의 적분의 선을 더해 면을 구성하는것에서 한단계 더 더 나아간 것이다.

   일변수함수의 적분은 선을 모아 면을 만드는 적분이었다.	이중적분은 면을 더해 부피를 만든다. 미분소 직사각형인 $\Delta x \cdot \Delta y = A$를 z방향으로 늘린 직육면체를 도형의 모든 공간에 대하여 누적한다.

   
   3) 이중적분의 성질
   
   $({1)}$ 함수의 선형결합은 두 적분으로 분리가 가능하다.
   $$ \int\int(f+g)dA = \int\int fdA + \int\int gdA $$
   
   ${(2)}$ 상수는 적분식 밖으로 도출이 가능하다.
   $$ \int\int cf(x,y)dA = c \int\int f(x,y)dA$$
   
   ${(3)}$ 구간 R은 서로 독립인 구간으로 분할이 가능하다
   $$ \int\int_{R} fdA = \int\int_{S} fdA + \int\int_{R-S} fdA$$
   
   4) 이중적분의 연산 방법
   
   ${(1)}$ 기본적으로 내부적분을 실시 후 외부적분을 수행하는 순서대로 진행한다.
   
   ${(2)}$ $\int\int f(x,y)dxdy$에 대한 적분을 수행하는 경우
   
   -. 내부 적분인 $A(y) = \int f(x,y)dx$를 우선 수행한다. 이 때, y는 상수로 취급한다(편적분) . 이는 일변수 함수의 적분을 수행하는것과 동일하다.
   
   -. 내부 적분 결과물에 대하여 외부적분 $\int A(y)dy$를 수행한다. 이 결과물은 정적분인 경우 상수로 도출된다.
   ${(3)}$ 이중적분이 단일적분의 연속으로 나뉠 수 있다는 사실은 푸비니의 정리에서 왔다.
   

   $\int \int_{R} f(x,y)dA = \int_{a}^{b}[\int_{c}^{d}f(x,y)dy]dx = \int_{c}^{d}[\int_{a}^{b}f(x,y)dx]dy$ 단, 직사각형 영역 R은 연속이어야 한다.

   -. 푸비니의 정리에 따르면, 이중적분은 내부적분과 외부적분의 순대로 계산이 가능하며
   -. 또한 내부적분과 외부적분간 교환이 가능하다.
   
   5) 이중적분의 교환 가능성
   
   ${(1)}$ 푸비니의 정리에 따라 이중적분은 내부적분과 외부적분을 교환하여 적분하여도 동일한 결과를 낼 수 있다.
   -. 이 때 중요한 것은, 내부적분과 외부적분이 교환되면서 구간이 반드시 재정의 되어야 한다는 점이다.

   내부적분과 외부적분의 교환에 따라 범위가 변환되는 상황의 예시(밑바닥) $ \int_{0}^{2}\int_{y=x^{2}}^{2x} x^{3}dydx$ 라는 적분은 세로 모양의 직사각형으로 적분하나 내외 적분을 교환한 $ \int_{0}^{4}\int_{y=\sqrt{y}}^{\frac{y}{2}} x^{3}dxdy$는 가로 방향의 직사각형으로 적분을 시작한다. 같은 모양의 함수라도 어떤 방향으로 적분을 시작하느냐에 따라 범위는 변경되어야 한다.

2. 중적분
   
   1) 이중적분에서 더 나아가 1,2,...,n개의 변수에 대하여 적분을 수행하는 적분을 다중적분, 혹은 중적분이라고 표현한다.
   
   ${(1)}$ 이중적분은 2차원 도형의 넓이를 이용해 부피를 구한다면, 중적분은 n차원 초입방체의 n차원 이상의 초부피를 구하는 적분이다.

   $$\overbrace{\int\int \cdots \int_{R}}^{n}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}$$

   
   2) 푸비니의 법칙이 여전히 적용된다.
   
   ${(1)}$ 따라서 가장 내부에 있는 적분에서 외부에 있는 적분 순으로 순차적으로 적분을 수행하며
   
   ${(2)}$ 필요한 경우 적분의 순서를 교환할 수 있다.
   -. 가령, 삼중적분의 경우 3! = 6가지의 적분 순서 교환이 가능하며
   -. 변수가 하나씩 늘어날수록 n!로 순서의 경우의 수가 생긴다.
   
   3) 핵심은 적분 범위를 적절하게 정의하는 것이다.
   
   ${(1)}$ 범위가 차순위 적분의 변수에 의존하는 경우, 적분을 수행하여 차순위 적분에 지속적으로 떠넘기기를 수행한다.
   
   
3. 치환적분
   
   1) 적분의 테크닉(https://goteodata.kr/44)에서 일변수 함수의 치환적분을 살펴보았다.
   
   2) 치환적분을 이제 중적분에 대하여 수행할 수 있도록 일반화된 방법을 제시한다.
   
   3) 다음의 프로시져를 따른다.

   1	치환 변수를 정의한다. -. 가령, 변수 벡터  y에 대하여 $y_{1}[x_{1}, ..., x_{n}], \cdots y_{n}[ x_{1}, ..., x_{n}]$ 로 치환관계를 정의할 경우 -. 치환 변수 벡터  x는 $x_{1}[y_{1}, \cdots y_{n}] \cdots x_{n}[y_{1}, \cdots y_{n}]$로 정의하여 치환할 수 있다.
   2	야코비 행렬의 행렬식 |J|를 정의한다. -. 치환 관계가 정의된 $y_{1}[x_{1}, ..., x_{n}], \cdots y_{n}[x_{1}, ..., x_{n}]$ 를 치환 변수 $[x_{1}, ..., x_{n}]$로 미분해 야코비 행렬을 구한다. 즉 $$\frac{\partial y}{\partial x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\  \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} & ... &  \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}}\\  ... & ... & ... & ... \\  \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{2}}  & ...  & \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{n}}  \end{bmatrix}$$
   3	적분 범위를 재정의한다. -. 치환 변수 벡터 [$x_{1}[y_{1}, \cdots y_{n}] \cdots x_{n}[y_{1}, \cdots y_{n}]]$를 이용하여 원 적분의 범위를 변환적분의 범위로 변환해준다.

   
   ${(1)}$ 위 프로시져를 따라 도출된 치환적분은 아래와 같은 관계로 정의할 수 있다.

   $$\overbrace{\int\int \cdots \int_{R}}^{n}y_{1}y_{2},...,y_{n}dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n} \\ = \overbrace{\int\int \cdots \int_{S}}^{n}x_{1}x_{2},...,x_{n}|J|dx_{1}dy_{2}\cdots dx_{n}$$ 변환 야코비안 |J|가 추가된데에 주목하자

   
   4) 왜 치환할 때 야코비 행렬의  들어가는가?
   
   ${(1)}$ https://goteodata.kr/54를 참조하면 선형 변환에서의 행렬식은 공간이 변환될 때 단위 공간의 부피 변화율을 나타낸다고 설명하였다. 

   -. 우리는 (보통은 한개의 눈금이 1의 값을 갖는) 표준 기저 공간에서 새로운 공간으로 변환을 시도하므로, (기존의 표준 기저 공간이 아닌) 새로운 공간의 단위 벡터로 이루어진 단위 (부분) 공간의 부피를 알 수 있다면 자연스럽게 그 부피만큼 공간이 확대되거나, 축소되거나, 혹은 뒤집힌다는 것을 유추해낼 수 있다.

   -. 적분은 미소 변화 $dx_{1},dx_{2},...,dx_{n}$의 누적합을 구하는것과 동치이므로, 이 미소변화도 선형 변환된 공간의 룰을 그래도 따라갈 수 밖에 없다.
   -. 변수의 치환을 새로운 공간으로의 선형 변환으로 해석하면, (연산이 수월한) 새로운 공간에서의 적분으로 재정의 할 수 있다.

   표준좌표계를 따르는 (x,y) 공간에서 변수 변환된 치환 공간 (u,v)로 변환했을때의 야코비 변환 행렬.  $u = 2x - y, \quad v = 2y - x$로 변환했을 때 그 변환공간에서 병행사변형은 직사각형으로 변환된다. ( u,v 평면계에 사는 사람은 u,v 좌표계를 표준 좌표계로 인식하며, 그 사이각을 그들 세계의 직각으로 인식할것이다) 이 때, 표준 좌표계에서 (u,v) 좌표계로 변환될 때 평행사변형의 부피는 $\frac{1}{3}$만큼 축소되며, 이것이 바로 변환 야코비안 |J|의 의미이다.

   5) 치환적분은 수리통계에서 핵심적인 적분법으로 지속적으로 활용된다(=변수 변환) 따라서 개념을 확실히 알고 가는게 좋다.