9. 행렬식과 여인수전개

1.  행렬식이란?
   
   1) 행렬식이란 행렬의 성질을 결정짓기(determinent)위해 n x n 정방행렬을 스칼라 값으로 대응시키는 함수이다.
   
   2) 굉장히 두루뭉술한 설명이지만, 다음과 같은 성질을 파악하는데 활용된다.
   
   ${(1)}$ 행렬의 (선형독립)하는 기저로 이루어진 부분공간의 부피(혹은 넓이)
   -. (벡터곱과 행렬식)에서 설명한 경우는 2차원의 부분공간과 3차원의 부분공간의  부피(혹은 넓이)를 행렬식으로 구한 사례이다.
   
   -. (벡터곱과 행렬식) 4번을 보면 행렬식이 0인 경우를 서술했다. 이 경우는 선형대수학의 표현을 빌리면 일부 열공간이 선형독립하지 않아서(즉, 한 벡터가 다른 벡터들의 생성(Span)으로 표현될 수 있어서)  온전한 부분공간을 구성할 수 없고, 따라서 부피(혹은 넓이)가 0으로밖에 표현이 될 수 없음을 의미한다.

   3차원 공간의 3X3 정방행렬에서 한 열공간(벡터) C가 다른 열공간(벡터)인 B의 n배 배수로 생성(Span)되는 선형종속인 관계일때의 기하학적 표현도. det(3X3 정방행렬) = 0일 때 C는 B의 배수($B = aC$)로 표현 가능한 선형종속인 벡터기 때문에 한개의 축이 소실되고, 따라서 평행육면체로서 부피를 가질 수 없다.

   
   ${(2)}$ 선형변환하는 경우 원공간에서 변환 공간으로 선형변환이 이루어질때의 부피(넓이) 확대율
   
   -. (1)의 성질과 연결되는 또다른 해석으로, 표준 기저 공간(x,y,z로 표현되는 일반적인 공간)에서 nXn 정방 행렬의 열공간을 기저로 갖는 새로운 공간으로 선형변환을 할 때, 그 부피가 얼마나 확대되는지를 행렬식을 통해 알 수 있다

   선형변환을 기존 공간에 존재하는 벡터를 새로운 공간의 벡터로 변환시키는 기하학적인 작업으로 해석하여 설명하고 있는 유튜브 동영상

   
   -. n X n 정방행렬을 새로운 기저로 갖는 공간으로 벡터를 변환했기 때문에, 그 성질은 기본적으로 새로운 공간을 지배하는 n X n 정방행렬의 성질을 따라갈 수 밖엔 없다.
   
   -. 우리는 (보통은 한개의 눈금이 1의 값을 갖는) 표준 기저 공간에서 새로운 공간으로 변환을 시도하므로, (기존의 표준 기저 공간이 아닌) 새로운 공간의 단위 벡터로 이루어진 단위 (부분) 공간의 부피를 알 수 있다면 자연스럽게 그 부피만큼 공간이 확대되거나, 축소되거나, 혹은 뒤집힌다는 것을 유추해낼 수 있다.
   
   -. 행렬식이 0이라는 의미는 (1)과 마찬가지로 일부 열공간이 다른 열공간의 생성(Span)으로 생성이 가능한 선형 종속이란 의미이고, 이 새로운 공간에서 변환된 결과물은 여전히 그 부피가 0을 가진다는 점을 마찬가지로 유추할 수 있다.
   
   3) 행렬식은 연산 과정에서 여섯 가지의 성질을 갖는다. 이는 (역행렬과 행렬식)을 참조하자.
   
   
2. 여인수 전개
   
   1) 가장 간단한 행렬식은 2X2 행렬의 행렬식을 구하는 것이다.
   ${(1)}$ 2X2 정방행렬 A에 대한 행렬식 $det|A| = ad - bc$로 구할 수 있다.
   
   2) 여인수 전개는, n X n의 정방행렬을 여러 층위의 부분행렬로 쪼개 연산하는 방법론을 의미한다.  
   
   ${(1)}$ 기본적인 아이디어는, n X n의 정방행렬을 대각선 방향으로 조금씩 축소
   
   ${(2)}$우리가 행렬식을 구할 수 있는 기본 단위인 2 X 2 까지 축소한다는 아이디어이다.
   
   3) 구체적인 방법론은 다음과 같다.
   

   여인수 분해의 작은 부분(항)의 계산 알고리즘. 4X4 정방 행렬의 경우, 대각선 방향으로 가장 바깥쪽 원소부터 안쪽 원소 순으로 가져와 최종적으로 2X2 부분 행렬의 행렬식을 구해 모든 항을 결합한다.

   ${(1)}$ 각 계층별 시작 원소의 행과 열을 고정한다
   
   -. 예시 그림에서, 원소 1에 행벡터와 열벡터인 (1,n) 벡터와 (n,1) 벡터는  계층 1의 계산에서 원천적으로 배제한다(파란색으로 칠한 부분은 배제한다)
   
   -. 만약 (1,n)과 (n,1) 벡터를 제외했음에도 2X2 정방 행렬의 부분 행렬로 도출이 되지 않았을 경우, 그 다음 시작 원소인 0의 (2,n)과 (n,2) 벡터는 계층 2의 계산에서 원천적으로 배제한다(빨간색으로 칠한 부분은 계산에서 배제한다)
   
   ${(2)}$ 1....n의 계층을 거쳐 최종적으로 2 X 2의 부분행렬만 남았을 경우, 이 행렬의 행렬식을 구한다. 
   
   ${(3)}$ (계층1의원소)[(계층2의원소){(부분 행렬의 행렬식)}] 의 소(小) 항을 구한다.
   -. (+) $\rightarrow$ (-) $\rightarrow$ (+) $\rightarrow$ (-) ... 로 순환하는 부호에 유의하며 부호를 결정한다.
   
   ${(4)}$ 다음 Iteration의 시작 원소의 행과 열을 고정한다 ......
   
   ${(2)}$ 위에서 설명한 여인수 전개 계산을 애니메이션으로 묘사하면 아래와 같다.

   여인수 전개의 묘사 애니메이션. 색칠하는 부분은 연산에서 제외하고, 좌상단의 체커보드에 해당하는 부호를 가져와서 2X2 부분 행렬의 행렬식을 계산한 후  모든 항을 쭉 연결한다.

3. 참고하면 좋은 자료
   Khan Academy "nXn 행렬의 행렬식 계산" https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/inverse-of-matrices/v/linear-algebra-nxn-determinant

n x n 행렬식 (동영상) | 행렬변환 | Khan Academy