10. 노름(Norm)

1. 노름이란?
   1) 벡터 공간에서 정의되는 함수로, 벡터의 성질을 어떤 실수(Real Number)로 변환하는 함수를 의미한다.
   
   ${(1)}$ 예를 들어, 유클리드 공간에서 정의되는 L2-Norm은 벡터의 직선 크기를 의미한다.

   L2 Norm의 예시 3차원 공간에서 정의된 벡터 X에 대해 '최단 거리 크기'를 알고 싶다면 L2 Norm을 사용한다. 그 크기는 0보다 큰 실수인 $\sqrt{3}$이다.

   
   2) 엄밀한 수학적 정의는 다음과 같이 내릴 수 있다.
   

   벡터 공간 V에서, Norm X는 $X \rightarrow \mathbb{R}^{1}$을 수행하는 실함수(real-valued Function)이다. Norm 함수를 p라고 할때, Norm은 다음의 세가지 조건을 만족해야한다

   -. 삼각 부등식 : 모든 $(x,y) \in X$에 대하여, $p(x+y) \leq p(x) + p(y)$ -. 절대 동차성 : 모든 $x \in X$이라고 할 때, 어떤 스칼라값 s에 대하여 $p(sx) = |s|p(x)$ -. 양의 정부호성 : 모든 $x \in X$에 대하여  $p(x) =0$을 만족하는 유일한 방법은 $x = 0(영벡터)$이다.

   보통, 함수 $p(x)$는 다음과 같은 이중직선으로 나타낸다. $$p^{p}(x) = ||X||_{p}$$

   ${(1)}$ 위의 조건에 따라 다음의 경우가 성립한다.
   -. 절대동차성을 이용하면 $p(-u) = |-1|p(u) = p(u)$. 즉 Norm은 항상 0보다 큰 양의 실수를 가진다.
   
   
2. 노름의 종류
   1) p-norm
   ${(1)}$ 1보다 큰 양의 실수 p의 값에 따라 결정되는 벡터의 크기에 대한 norm
   ${(2)}$ p의 값에 따라 벡터의 크기를 어떤 척도로 구할것인지가 결정된다.
   

   명칭	식	설명
   $L_{1}norm$ (통칭 맨해튼 Norm)	$\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|$	마치 택시기사가 네모반듯한 맨해튼 거리를 운전하듯, 기저를 정직하게 따라가서 구하는 크기를 의미한다.
   $L_{2}norm$ (통칭 유클리드 Norm)	$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{|x_{i}|^{2}}$	유클리드 공간에서 직선거리를 구하는 Norm이다
   일반화된 p-norm $L_{p} Norm$	$(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{1/p}$