23-1 단측검정에서 양측검정으로 일반화

1. 양측검정
   1) 가설검정에서 계속해서 확인했던 가설검정은 모두 한쪽 방향으로만 가설을 검정하는 단측검정이었다.
   
   ${(1)}$ 예를 들어, 마지막 예제에서 봤던것과같은 다음과 같은 가설이다
   $$H_{0} :  T_{1} = \omega_{0} \ vs \ H_{1} :  T_{1} > \omega_{0}$$
   
   ${(2)}$ 양측검정은 위와 같은 가설을 확장하여, 다음과 같은 가설을 검정할 수 있도록 한다
   $$H_{0} :  T_{1} = \omega_{0} \ vs \ H_{1} :  T_{1} \neq \omega_{0}$$
   -. '좌측이 크다'는 가설이 '같지 않다'로 바뀐것에 주목하자
   
   2) (정규분포를 활용한) 평균에 대한 대표본 양측검정
   
   ${(1)}$ X가 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^{2}$를 가지는 확률변수라고 하고, $[X_{1}, ..., X_{n}]$을 이 확률변수에서 추출한 확률표본이라고 하자.
   
   ${(2)}$ 다음의 가설을 검정하고자 한다.
   $$H_{0} :  T_{1} = \omega_{0} \ vs \ H_{1} :  T_{1} \neq \omega_{0}$$
   
   ${(3})$  확률표본 [X_{1}, ..., X_{n}]을 이용한 규칙을 다음과 같이 정한다.
   
   -. 임계값 : 통계량 $\overline{x}$와 $S^{2}$을 각각 표본평균과 표본분산이라 하고, 양측에 각각 임계값 h 와 k를 도입하여 다음의 결정규칙을 만든다.
   $$\overline{x} \leq h 혹은 \overline{x} \geq k \rightarrow H_{0} 기각$$
   
   -. 유의수준 $\alpha$ : $$\alpha = P_{H_{0}}[\overline{x} \leq h \ or\ \overline{x} \geq k] = P_{H_{0}}[\overline{x} \leq h] + P_{H_{0}}[\overline{x} \geq k]$$ 이므로, 단측검정에서 했듯이 $\alpha$를 활용하기 위해선 $\frac{\alpha}{2}$로 고려한다.
   
   -. 가설검정을 위한 결정식 : $$ \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}} \rightarrow_{d} N(0,1)$$ 이므로 이를 활용,
   
   ${(5)}$ 이제, 다음과 같이 가설검정을 수행할 수 있다.
   $$ |\frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}|  \geq z_{\alpha/2} 이면 H_{0}를 기각하고 H_{1} 채택$$
   -. $\alpha$가 아니라 $\frac{\alpha}{2}$임에 주목하고
   -. 결정식이 절대값 부호 안에 있음을 유의하자
   
   3) 양측검정과 신뢰구간의 관계
   ${(1)}$ 양측검정과 신뢰구간은 상호 교환가능한 관계를 맺고 있다.
   ${(2)}$ 바로 위의 양측검정 규칙을 다음과 같은 신뢰구간의 문제로 변경할 수 있다.
   -. $\frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}|  \geq z_{\alpha/2}$ 는 기각역이 아닌 $H_{0}$에 대한 채택구간(채택역)의 관점으로 보면 다음의 부등식으로 바꿀 수 있다.
   $$\mu_{0} - z_{\alpha/2} \cdot s/\sqrt{n} < \overline{X} < \mu_{0} +z_{\alpha/2} \cdot s/\sqrt{n} 이면 H_{0} 채택$$
   -. 위 부등식을 구간에 대한 정의로 바꾸면, 아래와 같이 나타낼 수 있다.
   $$\mu_{0} \in (\overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot s/\sqrt{n} , \quad \overline{X} +z_{\alpha/2} \cdot s/\sqrt{n}) 이면 H_{0} 채택$$
   -. 위 구간에 대한 정의는, 다시말해 $\mu$라는 모수에 대한 $(1-\alpha) * 100%$ 신뢰구간을 $\mu$에 대한 최대우도추정량 $\overline{x}$를 이용해 정의한 것이다.