문과생 네버랜드의 데이터 창고

2차형식이란? 1) 수학에서 2차형식이란 항이 모두 2차인 동차 다항식을 의미한다. ${(1)}$ 예를 들면 아래와 같은 경우이다. $$4x^{2} + 2xy - 3y^{2}$$ -. 위 다항식의 경우, 변수 x와 y에 대하여 2차 형식이다. 2) 구체적으로는, 이차형식은 아래와 같은 형태로 나타낼 수 있는 형태를 의미한다. ${(1)}$ 선형결합 형식으로 나타낼 때 -. $q_{A}(x_{1}, \dots x_{n}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$ ${(2)}$ 행렬 형식으로 나타낼 때 -. $q_{A}(x_{1}, \dots, x_{n}) = x^{T}Ax$ 3) 특히, 행렬형식으로 나타낼 때 행렬 A의 고유 분해 결과에 따라 성질이 달라진다. ..

최소최대 문제를 풀기 1) 최소최대 문제란, 검정과 관련된 기각역의 최소 및 최대를 결정하는 방법론을 의미한다. 2) 다음과 같이 도출할 수 있다. ${(1)}$ 확률표본 $[X_{1}, \dots, X_{n}]$과 관련된 어떤 함수를 다음과 같이 정의하자 $$\delta = u(X_{1}, \dots X_{n})$$ 이 함수는 다음과 같은 검정을 수행할때 활용하는 함수이다. $$H_{0} : \theta = \theta_{1} \ vs \ H_{1} : \theta = \theta_{2}$$ 이 때, 이 함수와 관련된 손실함수를 정의하자. 즉, 함수 $\delta$에 대하여 ①정답인 경우 : $\epsilon(\theta, \delta = \theta_{1}) = 0$ 이고 $\epsilon(\thet..

축차확률비 검정이란 무엇인가? 1) 앞서 우도비 검정을 이용하여 균일최강력검정을 수행하는 방법론을 살펴보았다. ${(1)}$ 우도함수는 계속해서 다음과 같이 정의하였다. n이 표본의 갯수라고 할 때 $$L(\theta;n) = f(x_{1};\theta) \cdot f(x_{2};\theta) \dots f(x_{n};\theta)$$ ${(2)}$ 위 우도식을 이용한 우도비 검정은 최량 기각역을 가진다는것을 네이만-피어슨 정리를 이용해 보였다. 즉 $$\frac{L(\theta_{H0};n)}{L(\theta_{n};n)} \leq k$$의 형태로 나타나는 우도비검정은 최량기각역을 가지고, 이를 이용해 최강력검정을 수행할 수 있다. 2) 그러나, 현실에서는 다음의 문제가 발생할 수 있다. ${(1)}$..

최강력 검정의 정의 1) 가설검정과 최강력검정(Most Powerful tests) ${(1)}$ 가설 검정과 관련된 몇가지 개념들을 이전에 정리했었다. 가설검정과 기각역, 가설검정의 오류와 검정력에 대한 개념이 그것이다. ${(2)}$ 이제, 이 개념들을 발전시켜서 '가장 효율성이 높은 가설 검정 방법'을 도출하는 방법론을 배운다. 아래 개념들을 복습하자. 가설 검정 ${(1)}$ 연구자가 주장한 가설이 실제로도 유의미한지 참 / 거짓을 판별하는 방법론을 가설검정이라고 한다. ${(2)}$ 가설 검정엔 귀무가설과 대립가설이라는 두 개념이 등장한다. -.대립가설: 연구가설이라고도 표현한다.연구자가 관심을 갖고 있는(즉 연구자가 주창한) 가설을 의미한다. -.귀무가설: 영가설이라도고 표현한다. 대립가설에 ..

최소충분통계량 1) 최소충분통계량이란? ${(1)}$ 하나의 분포에 대하여 충분통계량은 여러개가 존재할 수 있다. -. 그러면, 전체 표본의 성질을 매우 잘 보존하면서도 요약의 수준이 높은 가장 최소의 충분통계량은 무엇인가? -. 여기에 대하여, 다음의 사고실험을 계획해 볼 수 있다. 어떤 분포에 대하여 충분통계량 $S(X)$가 존재한다고 하자. 그리고, 전지전능한 통계의 신이 이 분포의 모든 충분통계량 집합 $T'(X) = \{t(x;\theta) | \theta \in \Omega\}$를 제시했다고 하자. 만약, $S(X)$가 최소한의 충분통계량이라면, 우리는 다음의 꼴로 모든 $T'(X)$에 대하여 나타낼 수 있다. $$S(X) = u(T'(X))$$ 물론, 그 역은 성립하지 않는다. -. 만약, ..

단변량에서 다변량으로 확장 1) 결합충분통계량 ${(1)}$ 충분통계량을 다중 모수의 선형결합으로 표현한다. $X_{1}, \dots, X_{n}$이 $\theta \in \mathbb{R}^{p}$ 라고 할 때 $f(x;\theta)$를 pdf 갖는 분포에서 추출한 확률표본이다. 통계량 $Y_{i}$들로 이루어진 다음의 확률벡터를 정의하자 $$\overset{\rightarrow}{Y} = \begin{bmatrix} u_{1}(X_{1}, \dots, X_{n})\\ \dots\\ u_{m}(X_{1}, \dots, X_{n}) \end{bmatrix}$$ 즉, m개의 통계량으로 이루어진 $Y \in \mathbb{R}^{m}$확률벡터이다. 이 때, 확률벡터 Y에 대한 다변량 PDF를 $f_{y} =..

완비성과 완비충분통계량 1) 충분통계량은 왜 배우는 것인가? ${(1)}$ 충분통계량은 가장 좋은 불편추정량인 최소분산불편추정량(MVUE)과 밀접한 관계를 갖고 있다. -. 우리의 목표는 이제 충분통계량과 MVUE 사이를 잇는 가교를 발견하는 것이다. -. 이 가교는 ① 완비성 ② 최소 분산 추정량의 두개의 교각으로 이루어져 있다. -. 그리고, 두 교각을 세우면 마침내 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 이는 밑에서 증명할 레만-쉐페 정리가 증명한다. 완비성을 갖춘 충분통계량의 함수꼴로 표현된 불편추정량은 그 어떤 다른 불편추정량보다 분산이 작은 유일한 최소분산불편추정량(MVUE)이다. 2) 완비성과 유일성 ${(1)}$ 완비성 연속형 혹은 이산형 확률변수 Z가 모수 $\theta$와 확률변수 z를 다..

충분통계량이란? 1) 충분통계량에 대한 정의와 설명 ${(1)}$ pdf $f(x;\theta)$를 갖는 분포에서 추출한 확률표본인 $[X_{1}, \dots, X_{n}]$ 에서어떤 통계량 $Y_{1} = u(x_{1}, \dots, x_{n})$를 정의하자. 이 통계량은 모수 $\theta$를 추정하고자 한다. ${(2)}$ 이 때, '충분하다'라는 의미는 다음과 같다. -. $X_{1}, \dots, X_{n}|Y_{1}$ 이라는 조건부 다변량 분포를 정의했을 때, 그 pdf는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n};\theta)}{f(u(x_{1}, \dots, x_{n});\theta)}$$ -. 만약, 이 조건부 pdf를 정리한 결과가 ..