2. 사인과 코사인 함수의 도함수

1. $Sin(x)$의 도함수는 $Cos(x)$이다
   1) $\frac{sin{(\Delta x)}}{\Delta x}$ = $\frac{sin{(x + \Delta x)} - sin(x)}{\Delta x}$ 로 표현이 가능하다
   
   2) $sin{(x + \Delta x)}$를 풀기 위해, sin의 덧셈 법칙을 가져오면
   
   ${(1)}$ $sin{(x + \Delta x)} = sin{(x)} \cdot cos{(\Delta x)} + cos{(x)} \cdot sin{(\Delta x)}$
   
   ${(2)}$ ${1)}$과 ${(1)}$로 식을 다시 정리하면
   $$\frac{sin{(x + \Delta x)} - sin(x)}{\Delta x} = \frac{sin{(x)} \cdot cos{(\Delta x)} + cos{(x)} \cdot sin{(\Delta x)} - sin{(x)}}{\Delta x}$$
   
   ${(3)}$ 위 식을 다시 정리하면
   $$ sin(x) \cdot \frac{cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} + cos(x) \cdot \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
   
   ${(4)}$ $\frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}$를 구하면
   3) 위에서 구한 그래프를 염두해 두고, $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}$ 를 생각해보면, 이는 비율이므로 $sin(\Delta x)$와 $\Delta x$의 비율을 보면 그래프의 파형을 알 수 있다
   
   
   4) 계속해서 $\frac{cos(\Delta x)}{\Delta x}$를 구하면
   
   ${(1)}$ $(1 - cos(\Delta x)) \cdot (1 + cos(\Delta x)) = 1 - cos^{2}(\Delta x)$ 일때
   
   ${(2)}$ $sin^{2}(\Delta x) = 1 - cos^{2}(\Delta x)$ 이므로 
   $$(1 - cos(\Delta x)) \cdot (1 + cos(\Delta x)) = sin^{2}(\Delta x) \leq h^{2}$$ 이다.
   
   ${(3)}$ 양변을 $h(1 + cos(\Delta x))$으로 나누면
   $$ \frac{(1 - cos(\Delta x))}{h} \leq \frac{h}{(1 + cos(\Delta x))} $$
   
   ${(4)}$ 이 때, $ h \rightarrow 0 $ 이면 $\frac{h}{(1 + cos(\Delta x))} = 0$이므로 위의 부등식 관계에서 $\frac{(1 - cos(\Delta x))}{h} = 0$도 도출된다
   
   5) 위에서 도출된 모든 내용을 다시 종합하면
   
   ${(1)}$ $\frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}$ 는 $\Delta x \rightarrow 0$에서 1이다 
   
   ${(2)}$ $\frac{1-cos(\Delta x)}{\Delta x}$는 $\Delta x \rightarrow 0$에서 0이다
   
   ${(3)}$ 따라서 $ sin(x) \cdot \frac{cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} + cos(x) \cdot \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}$ 에서
   
   $$\lim_{x \to a}(sin(x) \cdot \frac{cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} + cos(x) \cdot \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x})=cos(x)$$ 이다