3. 미분의 연산법

1. 덧셈법칙
   1) $ f(x) = v(x) + u(x) $ 라고 한다면  $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta v(x)}{\Delta x} + \frac{\Delta u(x)}{\Delta x}$ 이다.
   
   ${(1)}$ $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{v(x + \Delta x) + u(x + \Delta x) - v(x) + U(x)}{\Delta x}$
   
   ${(2)}$ 마지막 항을 정리하면 $\frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} + \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta v(x)}{\Delta x} + \frac{\Delta u(x)}{\Delta x}$
   
   ${(3)}$ 다시 말해, 각각의 미분의 합으로 쪼갤 수 있다
   
   
2. 곱셈 법칙
   1) $f(x) = v(x) \cdot u(x)$ 라면 $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = u(x) \cdot \frac{v(x)}{\Delta x} + v(x) \cdot \frac{u(x)}{\Delta x}$ 이다.
   
   ${(1)}$ $ \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta v(x) \cdot \Delta u(x)}{\Delta x}$
   
   
   ${(2)}$ 다시 말해 $v(x+\Delta x) \cdot u(x+ \Delta x) - u(x) \cdot v(x) $ $$=u(x) \cdot [v(x + \Delta x) - v(x)] + v(x) \cdot [u(x + \Delta x) - u(x)]$$
   
   ${(3)}$ 중괄호 안을 정리하여 식을 다시 쓰면 $$ u(x) \cdot \frac{v(x)}{\Delta x} + v(x) \cdot \frac{u(x)}{\Delta x}$$
   
   
3. 제곱 미분 법칙
   1) $f(x) = x^{n}$ 이라면 $\frac{f(x)}{\Delta x}=nx^{n-1} \cdot \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
   2) 몇 가지 예시를 들자면
   
   ${(1)}$ $f(x)=x^{3}$ 이라면
   -. $x^{3} = x \cdot x \cdot x$
   
   -. $\frac{f(x)}{\Delta x} = x' \cdot x \cdot x + x \cdot x' \cdot x + x \cdot x \cdot x'$ = $3 \cdot x \cdot x \cdot (x' + x' + x') = 3 x^{2} x'$
   
   -. $x' = \frac{x}{\Delta x} = 1$ 이므로, 결국 $3x^{2}$가 된다
   
   ${(2)}$ $f(x) = sin^{3}(x)$ 라면
   
   -. $sin^{3}(x) = sin(x) \cdot sin(x) \cdot sin(x)$
   
   -. $ \frac{f(x)}{\Delta x} $ = $$\frac{sin(x)}{\Delta x} \cdot sin(x) \cdot sin(x) + sin(x) \cdot \frac{sin(x)}{\Delta x} \cdot sin(x) + sin(x) \cdot sin(x) \cdot \frac{sin(x)}{\Delta x}$$
   
   -. $\frac{sin(x)}{\Delta x}$ = $cos(x)$ 이므로,
   $$cos(x) \cdot sin(x) \cdot sin(x) + sin(x) \cdot cos(x) \cdot sin(x) + sin(x) \cdot sin(x) \cdot cos(x)$$
   
   ${(3)}$ 위 식을 정리하면 
   
   -. $sin(x) \cdot sin(x)(cos(x) + cos(x) + cos(x))$ = $sin^{2}(x) \cdot 3cos(x)$
   $$=3sin^{2}(x) \cdot cos(x)$$
   
   -. 이 때, $3sin^{2}(x)$는 $nx^{n-1}$로, $cos(x)$는 $\frac{f(x)}{\Delta x}$로 볼 수 있다
   
   
   
4. 역수 미분법칙
   1) $f(x) = \frac{1}{v}$ 라고 한다면 $\frac{f(x)}{\Delta X} = \frac{v'(x)}{v^{2}}$
   
   ${(1)}$  $v \cdot \frac{1}{v}$ 일때 ${(즉 함수의 항등원은 역함수이므로)}$ $\frac{v \cdot \frac{1}{v} - 1}{\Delta x} = 0$
   
   ${(2)}$  2에서 도출한 곱셈법칙에 따라 $\frac{v \cdot \frac{1}{v} - 1}{\Delta x}$ 를 정리하면
   -. $$\frac{\frac{1}{v}}{\Delta x} \cdot v + \frac{v}{\Delta x}\cdot \frac{1}{v}= 0$$
   
   ${(3)}$ 첫 번재 항을 좌변으로 넘기고, $\frac{1}{v}$를 양변에 곱하면
   -. $$\frac{\frac{1}{v}}{\Delta X} = \frac{-\frac{v}{\Delta x} = v'(x)}{v^{2}}$$
   
   ${(4)}$ 다시 말해, 함수의 도함수를 함수의 제곱으로 나눈 형태가 된다.
   
   
5. 분수미분법칙
   1) $f(x) = \frac{v(x)}{u(x)}$ 이라면 $\frac{f(x)}{\Delta x} = \frac{v'(x) \cdot u(x) - v(x) \cdot u'(x)}{u(x)^{2}}$
   
   ${(1)}$ 곱셈 법칙에 따라 $f(x) = v(x) \cdot \frac{1}{u(x)} \rightarrow v(x) \cdot \frac{1}{u'(x)} + v'(x) \cdot \frac{1}{u(x)}$
   
   ${(2)}$ 역수 법칙에 따라 $\frac{1}{u'(x)} = \frac{-u'(x)}{u(x)^{2}}$ 이므로, 위 식을 다시 정리하면 
    $v(x) \cdot \frac{1}{u'(x)} + v'(x) \cdot \frac{1}{u(x)} = v(x) \cdot \frac{-u'(x)}{u(x)^{2}}+v'(x) \cdot \frac{1}{u(x)}$
   
   ${(3)}$ 위 식을 정리하면
   $$ \frac{-v(x) \cdot u'(x)}{u(x)^{2}} + \frac{v'(x) \cdot u(x)}{u(x)^{2}} = \frac{v'(x) \cdot u(x) - v(x) \cdot u'(x)}{u(x)^{2}}$$
   
   ${(4)}$ 즉, 다시말해 번갈아가며 미분한 함수항의 차를 분모쪽의 함수 제곱으로 나눈 꼴이다
   
   
6. 거듭제곱 미분 법칙
   1) $f(x) = v(x)^{2}$ 일때
   
   ${(1)}$ $v(x)^{2} = u(x) \cdot u(x)$ 이고, 이를 미분하면 $$u'(x) \cdot u(x) + u(x) \cdot u'(x) = 2 u(x) \cdot u'(x)$$
   
   ${(2)}$ 이 때, 뒤에 따라붙은 $u'(x)$를 Chain Rule에 의해 생성된 항이라고 한다