9. 평균값 정리와 로피탈의 정리

1. 평균값 정리
   
   1) 증분에 대한 전체적인 것(즉, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) 과 국소적인 것(즉, $\frac{dy}{dx}$)을 연결시키는 정리
   
   2) 어떤 구간(예를 들면, 아래 그림의 0 ~ b까지의 구간)의 전체 기울기와 어느 한 지점의 순간 기울기($f'(c)$)가 일치되는 지점 c가 그 구간내에 반드시 존재한다는 정리이다.
   
   
   3) 위와 같은 그래프를 갖는 함수 $f(x)$가 있다고 할 때
   
   ${(1)}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(0)}{b-0}$ 일 때, 0 ~ b 구간내에서 이 함수의 기울기는 최종적으로 기울기가 0이다(함수값이 0에서 결국 0으로 간다).
   
   ${(2)}$ 순간적인 기울기 변화인 $\frac{dy}{dx} = f'(c)$도 마찬가지로 기울기가 0인 지점이 존재한다.
   
   ${(3)}$ 평균값 정리는, 전체 구간상의 기울기와 매우 미소한 구간상의 기울기의 변화량이 일치하는 지점이 반드시 존재한다는 정리로 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$와 $\frac{dy}{dx}$를 연결한다.
   
   4) 끝점이 0이 아닌 경우에도 적용하는 평균값 정리의 일반화
   ${(1)}$ 3)에서 구한 평균값 정리에 따르면 $F(a)$ = $F(b)$ = 0이다.
   
   -. 일반화된 평균값 정리를 구하는 방법은, $F(a)$ = $F(b) \neq 0$인 지점에서도 위에서 구한 $F(a)$ = $F(b)$ = 0를 적용할 수 있도록 식을 변화시켜 적용하는 방법론을 쓰는 것이다(애니메이션 참조)
   
   -. 이 때, 임의의 함수에 대하여 기울기가 0이 되는 $f'(x) = 0$인 접선과 동일한 기울기를 갖는 접선을 $f(a)$에서부터 연장한 선이 있을때(애니메이션의 빨간색 삼각형 빗변)
   
   -. 이 접선에서 $f'(x)=0$인 지점까지의 거리(즉, 할선)를 의미하는 $F(x)$는 다음과 같이 구한다
   $$ F(x) = f(x) - [f(\alpha) - \frac{\Delta f}{\Delta x}(x-\alpha)] $$
   
   -. 위 식을 x에 대해 미분하면 
   $$ F'(x) = f'(x) - [\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot 1] $$
   
   -. 이 때, $f'(x) = 0$이 되는 지점 x를 c라고 하면
   $$ f'(c) - [\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot 1] = 0 $$
   
   -. 위 식을 이항하면 $f'(c) = \frac{\Delta f}{\Delta x}$ 이므로, 이는 우리가 원하는 결과가 된다.
   
   
2. 로피탈의 정리
   1) $\frac{f(x)}{g(x)}$에서 분자와 분모가 모두 0으로 '경주'를 시작할 때
   
   ${(1)}$ $\displaystyle \lim_{ x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 이며
   
   ${(2)}$ 그 극한은 보통 $\frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}$이다.
   
   2) 로피탈의 정리를 활용할때의 주의사항
   
   ${(1)}$ 두 변수는 서로 독립이어야 한다
   -. 예를 들어, $f(x)=x$이고, $g(x) = x-1$ 이라면 로피탈의 정리를 사용해선 안된다.
   ${(2)}$ 분모와 분자가 모두 0으로 접근하는, 즉 $\frac{0}{0}$꼴인 경우에만 활용 가능하다.
   
   

   

   $\frac{1-cos(x)}{x}$와 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$꼴인 $sin(x)$의 그래프. $\displaystyle \lim_{ x \to 0}$에서 양 그래프는 모두 0을 향해 다가간다.