10. 연쇄 법칙

1. 연쇄법칙
   
   1) 합성함수의 미분법으로, 합성함수의 가장 내부에 있는 변수의 변화가 외부 함수의 변화에 어떤 정도의 영향을 미치는지를 기울기로 표현하는 것
   
   2) 중간값 정리에 따라, $x \rightarrow \Delta x$ 일수록 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$는 점차 $\frac{dy}{dx}$로 수렴하고, 마찬가지로 외부 함수도 $y \rightarrow \Delta y$ 일수록 $\frac{\Delta z}{\Delta y}$는 점차 $\frac{dz}{dy}$로 수렴한다.

   

   시스템으로서 z = f(g(x))와 그 미분의 그래프

    3) 예시를 통한 정의는 아래와 같다.

   $g(x)$가 x에서 도함수가 존재하고 $f(y)$가 $y=g(x)$에서 도함수가 존재한다고 가정하자. 그러면 $z=f(g(x))$의 도함수는 $\frac{dz}{dx}$ = $\frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$ = $f'(g(x))g'(x)$ 이다. 다시 말해, x에서의 기울기는 y에서의 외부 함수 $\frac{df}{dy}$와 x에서의 내부함수 $\frac{dg}{dx}$의 곱이다.

   
   4) 연쇄법칙의 응용
   
   ${(1)}$ 함성함수의 이계도함수는 다음과 같은 방법으로 구한다
   -. $\frac{f(g(x))}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 이고
   -. $\frac{f'g(x) \cdot g'(x)}{dx} = f''(g(x))g'(x) \cdot g'(x) + f'(g(x))g''(x)$
   -. 즉 침착하게 미분의 곱법칙을 적용한다.
   
   ${(2)}$ 3개 이상의 합성함수의 연쇄법칙도 마찬가지로 구할 수 있다.
   -. $\frac{f(g(h(x)))}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h(x) $