12. 역함수와 역함수의 도함수

1. 역함수란 무엇인가
   
   1) 원함수의 정의역을 치역으로 갖는 함수를 다시 정의할 경우, 이 함수를 역함수라고 한다
   
   2) 즉, $y = g(x)$ 이고, $x = f(y)$라고 할 때 $f(g(x)) = x$의 관계를 성립하도록 하는 $f(y)$를 역함수라고 하고, 역관계를 보다 엄밀하게 드러내기 위해 $$x = f(y) = g^{-1}(y)$$로 표현한다. 
   
   
2. 역함수의 성질
   
   1) 역함수는 서로 역이 성립한다
   ${(1)}$ 즉, $x = g^{-1}(y)$ 일 때 $y = g(x)$ 라고 한다면 $y = g(x)$ 일 때 $x = g^{-1}(y)$ 이다.
   
   2) 역함수의 도함수와 원함수의 도함수의 곱은 1이다
   
   ${(1)}$ $x = f(y) = g^{-1}(y)$ 라고 한다면
   
   ${(2)}$ $\frac{f(g(x))}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   
   ${(3)}$ 이 때 $g(x) = y$이고, $f'(g(x)) = f'(y) = \frac{df}{dy}$이고, $g'(x)$는 $\frac{dy}{dx}$이므로 $\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1임이 증명된다.$
   
   3) 연쇄함수의 역함수는 안과 밖을 뒤집어 역함수를 구한다
   
   ${(1)}$ $z = h(g(x))$ 일 때, 그 역함수는 $x = g^{-1}(h^{-1}(z))$ 이다.
   
   ${(2)}$ 예를 들어, $z = 3(1-x)$ 라면, 우선 $h^{-1} = \frac{1}{3}$을 적용하면
   -. $h^{-1} = \frac{1}{3z}$
   
   ${(3)}$ $g = (1-x)$의 역 $g^{-1} = x - 1$을 적용하면
   -. $g^{-1}(h^{-1}) = \frac{1}{3z} + 1$
    
3. 대표적인 역함수들
   1) 지수함수와 로그함수의 역함수 관계
   
   ${(1)}$ 지수함수 $y = 2^{x}$의 역함수 $y^{-1}$은 $log_{2}(y) = x$이다.
   
   ${(2)}$ 증명 : $y^{-1} \cdot y = log_{2}y = log_{2}2^{x} = x$