12-1 삼각함수의 역함수

1. 사인 함수의 역함수와 역함수의 도함수
   
   1) $y = sin(x)$일 때 sin값  y에 따른 x의 각은 $sin^{-1}(y)$로 표현한다. 이를 arcsin이라고 한다.
   
   2) 이 때, 계속 반복되는 주기성을 갖는 사인 함수의 특성상 정의역을 제한하지 않으면 전단사 조건을 만족할 수 없다. 
   
   $({1})$ 예를 들어, $sin(x) = 0$를 정의할 때, $sin^{-1}(0)$을 만족하는 x는 정의역이 제한되지 않을경우 무수히, 매우 많다.
   
   $({2})$ 따라서, arcsin을 정의할 때 보통 정의역을 $<-\frac{\pi}{2}$ ~ $\frac{\pi}{2}>$ 사이로 엄격하게 제한한다.
   

   
   
   

   주기성을 가지는 사인함수의 특성상 sin(x) = 0인 무수한 정의역 x가 존재한다(빨간색 실선). 

   3) arcsin의 도함수를 구하면 아래와 같다.
   
   ${(1)}$ $x = sin^{-1}(y)$ 일때 $cos(x) = cos[sin^{-1}(y)]$로 표현 가능하다
   -. 한편 $cos^{2}(x) = 1 - sin^{2}(x)$ 임이 알려져 있으므로 $cos(x) = \sqrt{1 - sin^{2}(x)}$
   -. 정리하면 $cos(sin^{-1}(y)) = \sqrt{1-sin^{2}(x)}$
   
   ${(2)}$ $sin(x)$의 도함수는 $cos(x)$인데 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 이므로 $sin^{-1}$의 도함수는 마찬가지로 $\frac{1}{cos(x)}$
   
   ${(3)}$ 한편, $cos(x) = \sqrt{1-sin^{2}(x)}$이므로 $$sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^{2}(x)}}$$

   

   sin과 arcsin 함수의 그래프. 정의역의 끝에서 sin과 arcsin의 기울기는 각각 무한대와 0으로 간다. 그 외의 지점에선 역함수의 도함수는 각각이 서로의 역관계가 된다 

2. 코사인 함수의 역함수와 역함수의 도함수
   
   1) $y = cos(x)$일 때 cos값  y에 따른 x의 각은 $cos^{-1}(y)$로 표현한다. 이를 arccos이라고 한다.
   
   2) 위에서 살펴본 사인 함수의 사례와 마찬가지로 계속 반복되는 주기성을 갖는 코사인 함수의 특성상 정의역을 제한하지 않으면 전단사 조건을 만족할 수 없다. 
   
   $({1})$ 예를 들어, $cos(x) = 0$를 정의할 때, $cos^{-1}(0)$을 만족하는 x는 정의역이 제한되지 않을경우 무수히, 매우 많다.
   
   $({2})$ 따라서, arccos을 정의할 때 보통 정의역을 $<0$ ~ $\pi>$ 사이로 엄격하게 제한한다.
   
   3) arccos의 도함수를 구하면 다음과 같다.
   
   ${(1)}$ $arcsin$과 $arccos$인 다음과 같은 성질이 있다.

   arcsin과 arccos이 만나는 모든 지점에서 정의역 $arcsin(y) + arccos(y) = \frac{\pi}{2}$이 된다.	삼각형의 성질과 삼각함수의 성질에 따라, $sin^{-1}$과 $cos^{-1}$의 합은 직각이며, 삼각함수로 표현하면 이는 $\frac{pi}{2}$가 된다.

   
   ${(2})$ 위 성질에 따라 $arcsin(y) + arccos(y) = \frac{\pi}{2}$를 y에 대해 음함수 미분법(https://goteodata.kr/35)을 사용해 미분하면
   -. $\frac{arcsin(y) + arccos(y)}{dy} = \frac{\frac{\pi}{2}}{dy}$ $\rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt(1-sin^{2}(x))} + \frac{arccos(y)}{dy} = 0$
   -. 따라서 $$\frac{arccos(y)}{dy} = \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{\sqrt(1-cos^{2}(x))}$$
   
   
3. 탄젠트의 역함수와 그 도함수
   
   1) $y = tan(x)$일 때 tan값  y에 따른 x의 각은 $tan^{-1}(y)$로 표현한다. 이를 arctan이라고 한다.
   
   2) 사인과 코사인 함수의 역함수와 달리 역탄젠트는 정의역의 제한을 둘 필요가 없다.

   arctan 그래프는 $\frac{\pi}{2}$와 $-\frac{\pi}{2}$ 사이에 존재한다. 원함수인 탄젠트 곡선은 오히려 $\frac{\pi}{2}$와 $-\frac{\pi}{2}$에서 정의되어 있지 않다.

   
   3) arctan의 도함수를 구하면 아래와 같다
   
   ${(1)}$ $tan(x)$의 도함수는 $\frac{dy}{dx} = sec^{2}(x)$ 이다.
   
   ${(2)}$ 역함수의 성질(http://goteodata.kr/35) 에 따라 $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dy} = 1$ 이기 때문에 
   -. $\frac{dtan(x)}{dx}$ = $sec^{2}(x)$을 이용하면 그 도함수는
   -. $$tan^{-1}(y) = \frac{1}{sec^{2}(x)} = \frac{1}{1 + tan^{2}(x)}$$