13. 적분

1. 적분이란?
   1) 함수  $f(x)$가 있을 때, 그 함수 $f(x)$의 각점 $x$에서의 값을 모두 더한 값을 정확하게 구하는 방법이다

   $\delta x$가 0으로 수렴함에 따라, 곡선 $f(x)$ 위의 빨간색 면적(=오차)는 점차 줄어들고, 옳은 면적(=파란색)은 점차 정확해진다.

   2) 예시로 보는 적분의 이해
   ${(1)}$ 속도 : $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$, $V_{4}$ = 1,2,3,4이고 거리 : $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$, $f_{4}$ 라고 할 때
   -. 속도 : $V_{1} = f_{1} - f_{0}$, $V_{2} = f_{2} - f_{1}$, $V_{3} = f_{3} - f_{2}$, $V_{4} = f_{4} - f_{3}$
   -. 거리 : $f_{4} = V_{1} + V_{2} + V_{3} + V_{4}$
   -. 이 때, 속도 $f_{4} = f_{4} - f_{3} + f_{3} - f_{2} + f_{2} - f_{1} + f_{1} - f_{0} = f_{4} - f_{0}$ 이다.
   ${(2)}$ 이를 미적분적으로 해석하면
   -. 속도 $V_{n} = f_{n+1} - f{n}$ 인데, 이는 기울기이며, 미분이고, $f_{n}$의 도함수이다
   -. 거리 $f_{4}$는 도함수들의 합으로 구성되며, 이는 적분이고, $v_{n}$의 역도함수이다.
   -. 다시 말해, 도함수들의 합을 구한다는 말은 그 도함수의 역도함수를 구한다는 말과 같다.
       => 그 합은 중간을 모두 캔슬한 (끝점의 역도함수) - (시작점의 역도함수) 이다.
   
   3) 적분상수 C
   ${(1)}$ 역도함수는 도함수에서 역으로 복원되는 과정에서 임의의 상수(=적분상수) C를 가진다
   -. $x$의 역도함수는 $\frac{1}{2}x^{2}$가 된다. $\frac{1}{2}x^{2}$에서 미분을 하면 다시 $x$가 된다는 것은 명백하다
   -. 하지만, $\frac{1}{2}x^{2} + 9$를 미분해도 역시 $x$이며, $\frac{1}{2}x^{2} + 2434$를 미분해도 역시 $x$이다.
   -. 즉, $x$의 역도함수는 $\frac{1}{2}x^{2} + C$의 꼴을 갖게 된다.
   
   
2. 예제
   1) $f(x) = y = x^{2}$을 적분하라
   ${(1)}$ $f_{1} = 1^{2}$, $f_{2} = 1^{2} + 2^{2}$, $f_{3} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14$ 이다. 
   ${(2)}$ 이 때, $f_{n} - f_{n-1} = n^{2}$ 이고, 동시에 $x^{2}$의 역도함수는 $\frac{1}{3} x^{3}$ 이므로, 이를 이용하여 $위의 예시 그림을 토대로 f_{n} - f_{n-1}$가 무슨 값일지 추론해보면
   -. $f_{n} - f_{n-1} = \frac{1}{3}n^{3} - \frac{1}{3}(n-1)^{3} = n^{2} - n + \frac{1}{3}$
   -. 위 식에서 우리가 원하는 결과인 $n^{2}$ 외에도 별도의 항인 $- n + \frac{1}{3}$가 붙은것을 볼 수 있다. 즉, 정말로 $n^{2}$의 역도함수가 $\frac{1}{3} x^{3}$라고 한다면 $- n + \frac{1}{3}$를 제거해야한다.
   ${(3)}$ 보정항을 제거하기 위해 $1 + 2 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1)$을 더하면
   -. $f_{n} = \frac{1}{3}n^{3} + \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{3}n = \frac{1}{3}n^{3} + \frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{6}n$
   -. 위의 '개량된 식'을 가지고 다시 $f_{n} - f_{n-1}$을 구하면, 우리가 원했던 결론인 $\frac{1}{3} x^{3}$이 도출된다.
   ${(3)}$ 그러나, 정식 적분에선 $\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{6}n$ 같은건 존재하지 않는다. 왜 이런 차이가 발생하는 것일까?
   -. 이제, 직사각형의 갯수를 100개로 늘리자.

   100개의 직사각형으로 쪼갠 후 밑변(= $\Delta x$)를 1000개로 쪼갰을 때, $\Delta x$는 $\frac{1}{10}$이 된다. $f(x) = x^{2}$ 하에서 그 높이는 $(j\Delta x)^{2}$이 되고, 직사각형의 넓이는 이 둘을 곱한 값으로 나타난다.

   
   -. 100개의 직사각형을 가지는 이 유사 적분식의 밑변을 1000개로 쪼갤경우, 직사각형의 밑변의 길이는 $\Delta x = \frac{1}{10}$가 된다.
   -. 따라서 넓이는 $(\frac{1}{10})^{2}\cdot (\frac{1}{10}) + (2 \frac{1}{10})^{2}(\frac{1}{10}) + (3 \frac{1}{10})^{2} \cdot (\frac{1}{10}) ... j(\frac{1}{10})^{2}(\frac{1}{10}) =  \sum(j^{2}\frac{1}{10}^{3}) = (\frac{1}{10})^{3}\sum(j^{2})$
   -. 이 때, 앞에서 살펴봤던봐와 같이 $j^{2} = \frac{1}{3}n^{3} + \frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{6}n$ 이므로
   -. $\frac{1}{10}$을 다시 $\Delta x$로 환원하면
   $$ \Delta x^{3}[\frac{1}{3}(\frac{100}{\Delta x})^{3} + \frac{1}{2}(\frac{100}{\Delta x})^{2} + \frac{1}{6}(\frac{100}{\Delta x})] = \frac{1}{3}100^{2} + \frac{1}{2}100(\Delta x) + \frac{1}{6}100(\Delta x)$$
   -. 위 식에서, 이제 $\Delta x \rightarrow 0$을 취하면 뒤쪽의 오차항 $\frac{1}{2}100(\Delta x) + \frac{1}{6}100(\Delta x)$는 자연스럽게 소거되고 우리가 원하는 $\frac{1}{3}100^{3}$만 남게 되며, 이는 $\frac{1}{3}x^{3}$이므로 우리가 원하는 결론이 된다.