11. 음함수 미분법

1. 정의
   
   1) 변수들이 서로 밀접하게 연관이 되어있어 한 변수만의 미분이 어려운 $f(x,y) = 0$꼴의 함수를 미분하는 방법
   
   2) y를 x에 대해(혹은 x를 y에 대해) 명시적으로 풀지 않고도 연쇄 법칙을 이용해 미분이 가능하다
   
   3) 일반적인 양함수 $f(x)$를 미분하는 방법과는 달리 기울기를 알기 위해선 x와 y의 두개의 값 모두가 필요하다
   
   
2. 예시로 보는 음함수 미분법
   
   1) $y^{5} + xy = 3$ 이라는 함수에 대해서, 이는 x와 y가 밀접하게 연관된 방정식이기 때문에 y에 대한 꼴로 정리하기가 어렵다(즉, 음함수이다)
   
   2) 이 함수를 y에 대한 방정식으로 가정하고 x에 대해 미분을 하면 $\frac{y^{5} + xy}{dx}$ 는 연쇄법칙을 활용하여
   
   $({1})$ $\frac{y^{5}}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{dx} = \frac{3}{dx}$
   $\rightarrow 5y^{4} \cdot \frac{dy}{dx} + x\cdot \frac{dy}{dx} +  \frac{dx}{dx} \cdot y$
   $\rightarrow 5y^{4} \cdot \frac{dy}{dx} + x\cdot \frac{dy}{dx} + y = 0$
   
   ${(2})$ 이 때, $x=2$와 $y=1$로 놓고, $\frac{dy}{dx}$에 대하여 풀면
   -. $5 \cdot \frac{dy}{dx} + 2\cdot \frac{dy}{dx} + 1 = 0$
   -. 따라서 $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{7}$