14. 감마분포

1. 감마함수를 이용한 유도
   
   1) $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} y^{a-1}e^{-y}dy$ 에서 $\alpha = 1$ 일 때
   
   ${(1)}$  $\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}e^{-y}dy = 1$ 이다.
   -. 적분 결과가 1이기 때문에 이는 충분히 확률변수로 고려할만 하다.
   
   2) $\alpha > 1$의 경우에 대하여 일반화를 시도하면
   
   ${(1)}$ 부분적분(https://www.goteodata.kr/44)을 취해주면

   감마 함수에 대한 부분적분.  회차 1,2,3.....에 대하여 $0 ~ \infty]$ 구간에서 적분을 수행하면 모두 0이 되며, 최후의 항에 대하여 $\int_{0}^{\infty}e^{-y}dy = 1$ 이므로, 상수항에 대한 $(\alpha-1)!$만 남는다.

   ${(2)}$ 이제, $y = \frac{x}{\beta}$로 치환하여 변수변환(https://www.goteodata.kr/33)을 수행하면
   -. 변환 야코비안  $y = \frac{d\frac{x}{\beta}}{dx} = \frac{1}{\beta}$ 를 이용하면 $\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}(\frac{x}{\beta})^{\alpha - 1}e^{\frac{x}{\beta}}(\frac{1}{\beta}) dx$
   
   -. $\Gamma(\alpha)$을 우변으로 이항하면 $1 = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}(\frac{x}{\beta})^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}}(\frac{1}{\beta}) dx = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}(\frac{x^{\alpha - 1}}{\beta^{\alpha - 1}})e^{-\frac{x}{\beta}} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}} dx$
   
   -. 이 때, 이 함수는 좌변이 1이고, $\alpha, \beta, \Gamma(\alpha) > 0$ 이므로 확률의 조건을 만족한다. 따라서
   $$ f(x) = \left\{\begin{matrix}
   \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}} \quad if 0 < x < \infty\\ 
   0 \quad else
   \end{matrix}\right. $$
   를 따르는 확률변수 x를 감마분포를 따른다고 하고, $\Gamma(\alpha, \beta)$로 표현한다.
   
   
2. 그래서 감마분포란?
   
   1) 감마분포는 다음과 같은 상황에 대한 확률 모델링이 가능한 분포이다
   
   ${(1)}$ 시간에 따른 사망확률 등 시간의 누적에 따른 발생확률을 계산할 때 활용한다
   
   
3. 감마분포의 특성
   
   1) 감마분포의 MGF(https://www.goteodata.kr/5)를 구하면 다음과 같다.
   
   ${(1)}$ $M(t) =  \int_{0}^{\infty} e^{tx}\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}} dx$ 에서
   -. $e^{tx}$를 통합하면 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1}e^{-x\frac{1-\beta t}{\beta}} dx$
   
   ${(2)}$ $\frac{x(1-\beta t)}{\beta} = y$로 변수변환하면
   -. 관계는 $ x = \frac{\beta y}{(1-\beta t)}$ 
   -. 변환 야코비안 $\frac{dx}{dy} = \frac{\beta}{1-\beta t}$
   -. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} (\frac{\beta y}{1 - \beta t})^{\alpha - 1}e^{-y} (\frac{\beta}{1-\beta t}) dy$
   
   ${(3)}$ $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} (\frac{\beta y}{1 - \beta t})^{\alpha - 1}e^{-y} (\frac{\beta}{1-\beta t}) dy$ 를 적분하면 
   -. $(\frac{1}{1-\beta t})^{\alpha} \cdot \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} y^{\alpha - 1}e^{-y} dy$
   -. 위 적분식에서 $\int_{0}^{\infty} y^{\alpha - 1}e^{-y} dy = \Gamma(\alpha)$ 이므로
   $$M(t) = (\frac{1}{1-\beta t})^{\alpha}$$
   
   2) M(t)를 이용하여 기댓값을 구하면
   
   ${(1)}$ $M'(t) = \frac{(1-\beta t)^{-\alpha}}{dt} = (-\alpha)(1-\beta t)^{-\alpha -1}\cdot -\beta$
   
   ${(2)}$ 따라서 $M'(0) = (-\alpha)(-\beta) = \alpha\beta$
   
   3) 분산을 구하면
   
   ${(1)}$ $M''(t)  = (-\alpha)(-\alpha-1)(1-\beta t)^{-\alpha-2}\cdot (-\beta)^{2}$
   
   ${(2)}$ 따라서 $M''(0) = (-\alpha)(-\alpha-1)(-\beta)^{2}=(\alpha^{2}+\alpha)\beta^{2} = \alpha^{2}\beta^{2} + \alpha\beta^{2}$
   
   ${(3)}$ 따라서, $M''(0) - M'(0)^{2} = \alpha^{2}\beta^{2} + \alpha\beta^{2} - (\alpha\beta)^{2} = \alpha\beta^{2}$이고, 이것이 분산이다.
   
   4) 감마분포는 가법성을 가진다.
   
   ${(1)}$ $X_{1} ... X_{n}$이 각각 독립이고, $[X_{n}]$이 각각 $\Gamma(\alpha_{1} , \beta), ..., \Gamma(\alpha_{n} , \beta)$를 가질 때 
   $$ \sum_{1}^{n}{X_{i}}는 \sum_{1}^{n}{\Gamma(\alpha_{i},\beta)}를 따른다$$