19-1 다변량 함수에서의 최대우도추정

1. 단변량에서 다변량 MLE로 확장
   1) 단변량에서 최대우도추정량을 구하는 방법을 살펴보았다.
   2) 이제, 이 방법론을 다변량에 대해서 구하는 방법으로 확장한다.
   
   
2. 다변량 모수의 최대우도추정
   
   1) $[X_{1}, \dots X_{n}]$을 공통 pdf $f(X;\theta)$를 갖는 i.i.d라고 하자.
   
   2) 그 우도함수와 로그우도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
   ${(1)}$ 우도함수 
   $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_{i};\theta) $$
   ${(2)}$ 로그우도함수
   $$l(\theta) = \sum_{i=1}^{n} log f(x_{i};\theta)$$
   
   3) 이 때, 우리가 알고있는 모수의 집합 $[\theta_{1}, \dots, \theta_{n}]$ 에 대하여 다음의 연산을 정의한다
   

   $$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} =  log \partial \begin{bmatrix} \theta_{1} & \theta_{2} & \dots & \theta_{n} \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{1})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{1})}\\ \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{2})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{2})}\\ \vdots\\ \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{n})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{n})}  \end{bmatrix}$$ 즉, $$log \partial \begin{bmatrix} \theta_{1} & \theta_{2} & \dots & \theta_{n} \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{1})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{1})}\\ \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{2})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{2})}\\ \vdots\\ \frac{\partial log(X_{1})}{\partial(\theta_{n})} + \dots + \frac{\partial log(X_{n})}{\partial(\theta_{n})}  \end{bmatrix}$$의 영공간을 구하면 그것이 MLE 추정량의 해가 된다.

   ${(1)}$ 이 벡터는 모수 $[\theta_{1}, \dots, \theta_{n}]$의 최대우도추정량을 담고있는 MLE 벡터이다.
   
   
3. 다변량 모수의 피셔정보와 효율성
   1) 다변량 모수의 피셔정보
   
   ${(1)}$ 다변량 피셔 정보 행렬은 다변량 모수 벡터를 입력받는 다변량 스코어 함수를 이용하는 정보 행렬이다.
   

   다변량 스코어 함수는 다음의 벡터로 나타낼 수 있다. $\theta = [\theta_{1}, \dots, \theta_{n}]$라고 할 때  $$\bigtriangledown log f(x;\theta) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}} & \dots & \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{n}} \end{bmatrix}$$ 이 때, $\bigtriangledown log f(x;\theta)$를 확률변수들의 다변량 확률벡터로 간주하고,  분산 - 공분산 행렬을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $cov(\bigtriangledown log f(x;\theta)) = \begin{bmatrix} var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}) && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) && \vdots && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}} \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}) \\ \vdots && var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) && \ddots && \vdots \\ \vdots && \ddots && \ddots && \vdots \\ cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}) && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) &&  \dots && var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}) \end{bmatrix}$ 이것 바로 스코어 함수의 분산, 즉 피셔 정보 행렬 $I(\theta)$이 된다.

   단변량 때와 마찬가지로, 이계 미분꼴의 기댓값( 혹은 스코어함수의 제곱의 기댓값) 형태로 이를 나타낼 수 있다. $$ 1 = \int f(x;\theta)dx$$에서 양분을 미분하면 $$0 = \int \frac{\partial f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}dx = \int \frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}f(x;\theta)dx, (j = 1, ... n) = E(\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}})$$  여기서 한번 더 미분해서 이계미분을 가져가면 $$0 = \int \frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}\partial \theta_{k}}f(x;\theta)dx + \int [\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}][\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}}]f(x;\theta)dx$$ 위 식중 첫번째항을 좌변으로 이항하면 $$-\int \frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}\partial \theta_{k}}f(x;\theta)dx =\int [\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}][\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}}]f(x;\theta)dx $$ 단변량에서와 마찬가지로,  $$I(\theta) = -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}\partial \theta_{k}}] = E[\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}}] 단(j = 1 ... n, k = 1... n)]$$ 한편, 공분산 $cov(x,y) = E(XY) - E(X)E(Y)$에서 $E(X)E(Y)$는 위에서 정의한 바에 따라 0과 같고 $$E(XY) = E[\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}}\frac{\partial log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}}] = -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}\partial \theta_{k}}] = I(\theta)$$ 이므로, 이는 피셔정보행렬과 우리가 지금 구한 기댓값의 꼴을 연결지어주는 가교 역할을 한다. $$cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}} \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}) = -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{j}\partial \theta_{k}}]$$ 란 사실을 이용하여  $$\begin{bmatrix} var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}) && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) && \vdots && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}} \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}) \\ \vdots && var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) && \ddots && \vdots \\ \vdots && \ddots && \ddots && \vdots \\ cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{1}}) && cov(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}, \frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{2}}) &&  \dots && var(\frac{\partial f(X;\theta)}{\partial \theta_{i}}) \end{bmatrix} $$ = $$ \begin{bmatrix} -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{1}^{2}}] && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{1}\partial \theta_{2}}] && \vdots && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{1}\partial \theta_{k}}] \\ \vdots && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{2}^{2}}] && \ddots && \vdots \\ \vdots && \ddots && \ddots && \vdots \\ -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}\partial \theta_{1}}] &&-E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}\partial \theta_{2}}] &&  \dots && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \theta_{k}^{2}}] \end{bmatrix}$$ 이다. 이것이 바로 피셔정보행렬이다.

   2) 다변량의 불편추정량의 효율성
   ${(1)}$ 단변량에서와 마찬가지로, 다변량에서도 라오-크래머 하한과 같은 모수에 추정량에 대한 분산 하한을 정의할 수 있다.
   
   -. 모수의 열 $\theta = [\theta_{1}, \dots, \theta_{n}]$에 대하여, 각각의 모수에 대하여 피셔정보행렬의 대각성분을 가져와 다음을 구한다.
   
   

   통계량 $Y_{j} = u_{j}(X_{1}, \dots X_{n})$를 정의하고, 이 통계량인 모수 $\theta_{j}$의 불편추정량이라고 하자. $Y_{j}$의 분산이 다음의 부등식 중 하한값을 가지면, $Y_{j}$를 효율적이라고 표현한다. $$Var(Y_{j}) \geq \frac{1}{n}[I^{-1}(\theta)]_{jj}$$

   
   3) 다변량 최대우도추정량의 근사 효율성
   
   ${(1)}$ 단변랑때와 마찬가지로, 다변량 최대우도추정량은 근사적으로 효율적임을 보일 수 있다.
   

   $X_{1}, \dots X_{n}$을 pdf $f(x;\theta)$를 따르는 변수에서 추출한 i.i.d라고 하자. ① MLE 추정량 $\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta} = 0$은 $\widehat{\theta_{n}} \overset{P}{\rightarrow} \theta$ 로 정의되는 해 $\widehat{\theta_{n}}$를 가진다. ② ①의 조건을 만족하는 모수의 집합 $\theta = [\theta_{1}, \dots, \theta_{n}]$에 대하여  $$\sqrt{n}(\widehat{\theta_{n}} - \theta) \overset{D}{\rightarrow} N_{p}[0, I^{-1}(\theta)]$$ 는 참이다. 이 때 $N_{p}$는 P차원의 다변량 정규분포이고, $I^{-1}(\theta)$는 피셔정보행렬의 역행렬이다.

   -. 일단은 위 정리들을 증명 없이 받아들이기로 하자
   
   -. 위 정리에 따르면, n의 크기가 커질수록 MLE 추정량 $\widehat{\theta_{n}}$는 근사적으로 $N_{p}[0, I^{-1}(\theta)]$로 수렴한다.
   
   -. 이 때, 그 분산인 $I^{-1}(\theta)$는 모수가 가질수 있는 이론적인 분산의 한계이므로, 이로서 다변량 MLE 추정량이 근사적으로 효율적임을 증명할 수 있다. 
   
   ${(2)}$ 한편, 근사 효율성을 증명하기 위해 도출했던 위 정리에서 다음의 따름정리도 파생시킬 수 있다.

   G를 $1 \leq k \leq p$에서 다음의 변환이라고 정의하자 $$g(\theta) = \begin{bmatrix} g_{1}(\theta) \\ \dots \\ g_{k}(\theta) \end{bmatrix}$$ 또한, B를 다음과 같이 정의하자 $$B = \begin{bmatrix} \frac{g_{1}(\theta)}{\theta_{1}} && \dots && \frac{g_{1}(\theta)}{\theta_{p}} \\ \dots && \ddots && \dots \\ \frac{g_{k}(\theta)}{\theta_{1}} && \dots && \frac{g_{k}(\theta)}{\theta_{p}} \end{bmatrix}$$  즉, 변환 G에[ 대한 편미분행렬이다. 이 때, 다음 또한 참이다. ①MLE 추정량 : $\widehat{\theta}$을 MLE 추정량이라고 할 때, $\widehat{\gamma} = g(\widehat{\theta})$ 면 $\widehat{\gamma}$은 마찬가지로 $\gamma = g(\theta)$의 MLE 추정량이다.   ② ①의 조건을 만족하는 $\widehat{\theta}$의 함수꼴 $\widehat{\gamma}$의 집합에 대하여 $\sqrt{n}(\widehat{\gamma} - \gamma) \overset{D}{\rightarrow} N_{p}[0, BI^{-1}(\theta)B^{T}]$ 이다.

   ${(2)}$ 위 따름정리를 해석하면 아래와 같다.
   
   -. MLE 추정량의 함수꼴은 마찬가지로 (동일한 함수의) 모수의 함수꼴의 MLE 추정량이 된다. MLE의 성질이 추정량에서 그 함수로도 확장될 수 있음을 보인다.
   (단, MLE 추정량의 함수꼴이 모수의 MLE 추정량은 아님에 유의해야한다.)
   
   -. 마찬가지로, MLE 추정량의 함수꼴은 근사적으로 효율적이다.
   
   -. 또, 마지막 사실에서 MLE 추정량의 함수의 피셔정보행렬은 다음과 같이 도출할 수 있다.
   $$I(\gamma) =  [BI^{-1}(\theta)B^{T}]^{-1}$$
   
   
4. 사례로 보는 적용방법
   1) 정규 모형하에서의 다변량 최대우도추정
   

   $X_{1}, ... X_{n}$이 $N(\mu, \sigma^{2})$에서 추출한 i.i.d라고 하자. 모수 집합은 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\theta = \begin{bmatrix} \mu \\ \sigma^{2}  \end{bmatrix}, 이 때 공간 \omega = \begin{bmatrix} (-\infty, \infty) \\ (0, \infty)  \end{bmatrix}$$ 로그 우도 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다. $$l(\theta) = -\frac{n}{2}log 2\pi - nlog\sigma - \frac{1}{2\sigma^{2}}\sum(x_{i} - \mu)^{2} \dots ①$$ 스코어 함수를 이용하여 최대우도추정량을 벡터 형식으로 정의하면 $$\begin{bmatrix} \mu_{mle} \\ \sigma^{2}_{mle}  \end{bmatrix} = log \partial[\mu,\sigma^{2}] \times \begin{bmatrix} f(X_{1}) \\ \dots \\ f(X_{n})  \end{bmatrix} = 0$$ 이므로 $$\begin{bmatrix} \mu_{mle} \\ \sigma^{2}_{mle}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{sigma^{2}}\sum(x_{i} - \mu) \\ \frac{1}{sigma^{2}} - \frac{3}{sigma^{$}}\sum(x_{i} - \mu)^{2} \end{bmatrix} = 0$$ 을 만족하는 영공간의 해를 구하면 $$\begin{bmatrix} \mu_{mle} \\ \sigma^{2}_{mle}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sum(X_{i})}{n}  \\ \frac{\sqrt{\sum(X_{i} - \mu)^{2}}}{n}  \end{bmatrix}$$ 이다.

   2) 다변량 정규모형하에서의 피셔정보행렬 

   1)의 전개를 식 ① 전까지 가져온다. 로그우도 $$l(\theta) = -\frac{n}{2}log 2\pi - nlog\sigma - \frac{1}{2\sigma^{2}}\sum(x_{i} - \mu)^{2} \dots ①$$ 를 이용하여 피셔정보를 구하면 $$ \begin{bmatrix} -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \mu^{2}}] && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \mu_{1}\partial \sigma^{2}_{2}}] \\ -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \mu_{1}\partial \sigma^{2}_{2}}] && -E[\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial (\sigma^{2})^{2}}] \end{bmatrix}$$ 에서 각각의 요소값을 구한다. ① $\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \mu^{2}} = -\frac{1}{2\sigma^{2}}$ ② $\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial (\sigma^{2})^{2}} = -\frac{1}{2\sigma^{2}} - \frac{3}{\sigma^{4}}(X_{i} - \mu)^{2}$ ③$\frac{\partial^{2} log f(x;\theta)}{\partial \mu_{1}\partial \sigma^{2}_{2}} = \frac{\partial[\frac{1}{\sigma^{2}}(X_{i} - \mu)]}{\partial \sigma^{2}} = \frac{2}{\sigma^{3}}(X_{i}-\mu)$ 위에서 구한 이계 미분들의 기댓값을 구하면 ① $-E(-\frac{1}{2\sigma^{2}}) = \frac{1}{2\sigma^{2}}$ ② $-E(-\frac{1}{2\sigma^{2}} - \frac{3}{\sigma^{4}}(X_{i} - \mu)^{2}) = -(\frac{1}{\sigma^{2}} - \frac{3}{\sigma^{4}}\sigma^{2}) = \frac{2}{\sigma^{2}}$ ③ $-E(\frac{2}{\sigma^{3}}(X_{i}-\mu)) = \frac{2}{\sigma^{3}} \cdot 0 = 0$ 따라서, 피셔정보행렬은 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sigma^{2}} && 0\\ 0 && \frac{2}{\sigma^{2}} \end{bmatrix}$$

   3) 다변량 정규모형에서의 불편추정량의 최저 하한

   2) 에서 피셔정보행렬을 가져온다.  $$ \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sigma^{2}} && 0\\ 0 && \frac{2}{\sigma^{2}} \end{bmatrix}$$ 이 때, 변환 $g(\theta) = \sigma^{2}$을 정의하자. 편미분행렬(벡터) B는 다음과 같이 정의할 수 있다. $$B = \begin{bmatrix} \frac{g_{1}(\theta)}{\mu} && \frac{g_{1}(\theta)}{\sigma} \end{bmatrix} = [0,2\sigma]$$ 이 때, 이 MLE 추정량의 함수꼴의 피셔정보행렬은 다음과 같이 구할 수 있다. $$I(\gamma) =  [BI^{-1}(\theta)B^{T}]^{-1} \\ = [0, 2\sigma] \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sigma^{2}} && 0\\ 0 && \frac{2}{\sigma^{2}} \end{bmatrix}^{-1} \cdot [0, 2\sigma]^{T}]^{-1} = \frac{1}{2\sigma^{4}}$$ 따라서, $I(\gamma) = \sigma^{2}$의 최저 하한은 $(2\sigma^{2}/n)$ 이다.