문과생 네버랜드의 데이터 창고

카이제곱 분포 1) $\alpha = \frac{r}{2}$, $\beta = 2$일 때의 감마분포를 가지는 확률변수 X를 카이제곱분포라고 한다. ${(1})$ 즉, 아래의 pdf를 가진다. $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2})\cdot 2^{\frac{r}{2}}} x^{(\frac{r}{2}-1)} \cdot e^{-\frac{x}{2}} & \text{ if } 0 < x < \infty\\ 0 & \text{ else } \end{cases}$ 2) 카이제곱분포의 MGF와 이를 이용한 기댓값, 분산은 아래와 같다. ${(1})$ $M(t) = (1-2t)^{-\frac{r}{2}}$, $t < \frac{1}{2}$ ${(2)}$ $E(x)$ ..

감마함수를 이용한 유도 1) $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} y^{a-1}e^{-y}dy$ 에서 $\alpha = 1$ 일 때 ${(1)}$ $\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}e^{-y}dy = 1$ 이다. -. 적분 결과가 1이기 때문에 이는 충분히 확률변수로 고려할만 하다. 2) $\alpha > 1$의 경우에 대하여 일반화를 시도하면 ${(1)}$ 부분적분(https://www.goteodata.kr/44)을 취해주면 감마 함수에 대한 부분적분. 회차 1,2,3.....에 대하여 $0 ~ \infty]$ 구간에서 적분을 수행하면 모두 0이 되며, 최후의 항에 대하여 $\int_{0}^{\infty}e^{-y}dy = 1$ 이므로, 상수항에 대한 $..

푸아송 분포란 무엇인가?1) 자연계에서 어떤 정의된 구간 h에서 사건이 x회 발생할 확률을 모델링한 분포이다.${(1)}$ 정의만 보면 다소 추상적인데, 구체적인 예시로 표현하면 아래의 것들로 구체화할 수 있다.-. 단위 시간(h) 내에 발생하는 자동차 사고 횟수 x회 발생할 확률-. 단위 시간(h) 내에 청구되는 보험금 횟수가 x회일 확률2) 단위시간이 무슨 의미인가를 구체화하기 위해선 푸아송 과정이라는 개념에 대해서 면밀히 살펴봐야 한다.  푸아송 과정푸아송 과정을 정의하는 방법은 ①이항분포를 이용하는 방법과, ②분포와 무관하게 해석학적 방법을 활용하는 두 방법으로 나눌 수 있다.가장 범용적인 정의 방법인 이항분포를 사용한 방법부터 먼저 살펴보면 다음과 같다.1) 이항분포를 활용한 푸아송 과정${(1..

시작 : 베르누이 분포 1) 이항분포는 베르누이 분포의 일반화 꼴이다. 따라서 시작은 베르누이 분포부터 확인해야한다 2) 표본공간이 성공($X(성공) = 1$) 혹은 실패($x(실패) = 0$)으로 이루어져 있는 이산형 분포 3) 이 때, 이항분포의 확률질량함수(PMF)는 아래와 같다 $p(x) = p^{x}(1-p)^{1-x} \quad where \ x = \{0,1\}$ 4) 기댓값과 분산은 $\mu$ $E(X) = \sum_{0}^{1} xp(x) = 0 \cdot p^{0}(1-p)^{1} + 1 \cdot p^{1} = P$ $var(x)$ $E[(X-\mu)^{2}]=\sum(x-\mu)^{2}p(x) = (1-p)^{2}p^{1}(1-p)^{0} + (0-p)^{2}p^{0}(1-p)^{1..

정의 1) 다변량 확률변수에서 역변환이 정의 가능할 때(즉 역함수가 존재할 때) 역변환으로 함수를 재정의 하는것을 변환이라고 한다 2) $y_{1} = u_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})$, $y_{2} = u_{2}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$, ... , $y_{n} = u_{n}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$을 정의할 때 ${(1)}$ $x_{1} = w_{1}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, $x_{2} = w_{2}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, ... ,$x_{n} = w_{n}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$이라는 역함수를 정의할 수 있으면 ${(2)}$ 함수와 역함수는 다음과 같은..

공분산 행렬 $\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\... \\x_{n} \end{bmatrix}$인 확률벡터를 정의하자. 1) 이 때, 확률변수 X의 평균 $\mu = E(x)$일 때, 분산-공분산 행렬 Cov(x) ${(1)}$ $Cov(x) = E[(x-\mu)(x-\mu)^{T}]$ = $[\sigma_{ij}]$ 이다. 즉 ${(2)}$ $\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\... \\x_{n} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \mu_{1}\\... \\ \mu_{n} \end{bmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\...

독립의 엄밀한 정의 1) pdf에서 두 확률분포가 독립인 경우 $f(x_{1}, x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$로 나타낼 수 있다. 즉, 독립인경우 각각의 확률변수를 갖는 pdf로 인수분해가 가능하다 ${(1)}$ 위와 같이 나타낼 수 있는 이유는 다음과 같다. -. $f(x_{1}, x_{2}) = f(x_{2} | x_{1})f(x_{1})$으로 표현할 때 -. $f(x_{2})$ = $\int_{-\infty}^{\infty}f(x_{1},x_{2})dx_{1}$ = $\int_{-\infty}^{\infty}f(x_{2} | x_{1})f(x_{1})dx_{1}$ -. 이 때, $f(x_{2}|x_{1})$이 $x_{1}$에 대해 종속되지 않는다고 할 때 = $f(x_..

공분산과 상관계수 1) 공분산은 X와 Y가 함께 변해갈때의 기댓값을 말한다. ${(1)}$ 수학적으로는 $COV(x,y)$ = $E[(x-\mu_{x})(y-\mu_{y})]$로 정의할 수 있다. ${(2)}$ 위 식을 정리하면 아래와 같이 논리를 전개할 수 있다. -. $E[(x-\mu_{x})(y-\mu_{y})]$ = $E[xy-y\mu_{x}-x\mu_{y}+\mu_{x}\mu_{y}]$ = $E[xy]-\mu_{x}E[y]-\mu_{y}E[x]+E[\mu_{x}\mu_{y}]$ -. 이 때, $\mu_{x}E[y] = \mu_{x}\mu_{y}$이고, $E[\mu_{x}\mu_{y}]$ = $\mu_{x}\mu_{y}$ 이므로 소거되며, 최종적으로 정리하면 $$E[(x-\mu_{x})(y-\mu..