15. 미분방정식의 변수 분리법

1. 정의
   1) 일계 미분방정식의 일반해를 구하기 위해 미분방정식을 쉽게 정리해주는 방법론중 하나
   2) 구한 일반해를 토대로 조건을 투입하여 실제의 해 y를 구한다.
   
   
2. 방법론
   
   1) $\frac{dy}{dt} = cy$의 해를 구하는 방정식을 구하는 경우 아래와 같이 진행할 수 있다.
   
   ${(1)}$ 미분 연산자를 이항하여, 좌변에는 $y$만 남도록 하고 우변에는 t만 남도록 만든다(변수의 분리)
   -. $\frac{dy}{y} = cdt$일 때, 양변에 적분을 취하면
   
   -. $\int \frac{1}{y}\cdot dy = \int c\cdot dt \rightarrow ln(y) = ct + C$
   ${(2)}$ 이제, 양변에 지수함수를 취한다
   
   -. $exp(ln(y)) = exp(ct + C) \rightarrow y = exp(ct + C)$
   ${(3)}$ C를 구하기 위해 초기조건 $t=0$으로 놓고 $y = y_{0}$로 놓으면
   
   -. $y_{0} = exp(c0 + C) \rightarrow y_{0} = exp(C) \rightarrow ln(y_{0}) = C$
   
   ${(4)}$ 즉, 상수 $C = ln(y_{0})$가 되며, 최종적으로 정리하면
   $$ y = exp(ct)\cdot y_{0} $$
   가 이 미분방정식의 정리된 방정식이 된다.
   
   2)  $\frac{dy}{dt} = cy + s$의 해를 구하는 방정식을 구하는 경우 아래와 같이 진행 가능하다.
   
   ${(1)}$ $\frac{dy}{y+\frac{s}{c}} = cdt$일때, 양변에 적분을 취하면
   -. $\int \frac{1}{y+\frac{s}{c}}\cdot dy = \int c\cdot dt \rightarrow ln(y+\frac{s}{c}) = ct + C$
   
   ${(2)}$ 이제, 양변에 지수함수를 취한다
   -. $exp(ln(y+\frac{s}{c})) = exp(ct + C \rightarrow y+\frac{s}{c} = exp(ct + C)$
   ${(3)}$ C를 구하기 위해 초기조건 $t = 0$으로 놓고 $y = y_{0}$로 놓으면
   
   -. $y_{0} + \frac{s}{c} = exp(c0 + C) \rightarrow y_{0} + \frac{s}{c} = exp(C) \rightarrow ln(y_{0} + \frac{s}{c}) = C$
   
   ${(4)}$ 즉, 상수 $C = ln(y_{0} - \frac{s}{c})$가 되며, 최종적으로 정리하면
   $$y = exp(ct)\cdot (y_{0} + \frac{s}{c}) - \frac{s}{c} $$
   가 이 미분방정식의 정리된 방정식이 된다.
   
   3) 즉, 위 프로시져를 정리하면 아래와 같은 절차로 나타낼 수 있다.

   ① 미분방정식의 좌변에 한개의 변수(ex. $y$)를 몰아버린다

   ② 양변에 적분을 취한다

   ③ 조건들(ex. 시간에 대한 조건 t 등)에 대하여 초기 조건을 정의하여 적분상수 C를 구한다

   ④ y에 대해서 정리한다.