16. 로그함수와 지수함수

1. 로그함수란?
   1) $y = b^{x}$라는 함수 관계를 정의할 때, 로그 함수란 $log_{b}(y) = x$이다.
   ${(1)}$ 즉,  b라는 값에 어떤 x를 제곱했을 때 y가 나올까에 대하여 $f^{-1}(y) = x$인 관계를 갖는 함수가 로그함수이다.
   
   2) 로그함수의 특성은 아래와 같다.
   

   ${(1)}$ $log_{b}(y \cdot z) = log_{b}(y) + log_{b}(z)$ 이다.

   -. $y=b^{x}$ 이고 $z=b^{u}$ 일때, $y \ cdot z = b^{x+u}$ 이다.
   -. 이 때, 로그를 취하면 $log_{b}(y \cdot z) = x + u$이고, 정의에 따라 $x = log_{b}(y)$이고 $u = log_{b}(z)$ 이므로 $$log_{b}(y \cdot z) = log_{b}(y) + log_{b}(z)$$ 
   

   ${(2)}$ $log_{b}(\frac{y}{z}) = log_{b}(y) - log_{b}(z)$ 이다.

   -. $y=b^{x}$ 이고, $z = b^{u}$ 일 때, $\frac{y}{z} = b^{x-u}$ 이다.
   -. 양변에 로그를 취하면 $log_{b}(\frac{y}{z}) = x - u$ 이고, $x = log_{b}(y)$ 이고 $u = log_{b}(z)$이므로 
   $$ log_{b}(\frac{y}{z}) = log_{b}(y) - log_{b}(z) $$
   

   ${(3)}$ $y = b^{log_{b}(y)}$와 같다.

   -. $log_{b}(y) = log_{b}(y)$ 이므로 이는 당연한 귀결이다.
   -. 다시 말해, 지수항 안에 있는 log의 밑(=b)이 해당 지수항의 밑(=b)와 같다면 상호 소거가 가능하다.
   
   

   ${(4)}$ $y^{u} = b^{log_{b}y \cdot u}$ 의 관계가 성립된다.

   -. $({3)}$에서 각 지수에 $u$를 곱했을뿐인 단순 응용 결과이다.
   
   

   ${(5)}$ $a = y^{u}=b^{log_{b}(y) \cdot u}$ 일때, $log_{b}(a) = (log_{b}(y)(log_{y}(a)$ 이다.

   -. $log_{b}(a) = (log_{b}(y)) \cdot u$ 이고, 동시에 $a = y^{u}$에서 $log_{y}(a) = u$의 관계가 성립되므로
   -. $log_{b}(a) = log_{b}(y) \cdot log_{y}(a)$의 관계로 정리할 수 있다.
   
   

   ${(6)}$ $log_{a}(b) = \frac{1}{log_{b}(a)}$ 이다.

   -. $log_{a}(a) = (log_{a}(b))(log_{b}(a))$ = 1 이므로, 이항하면 $log_{a}(b) = \frac{1}{log_{b}(a)}$ 이다.
   
   

   ${(7)}$ $Clog_{a}(b) = log_{a}(b)^{C}$ 이다.

   
   
   
   3) 로그함수의 미분(도함수)
   
   ${(1)}$ 로그함수의 역함수는 지수함수이다.
   -. 따라서, 시작은 일단 살펴보는게 수월한 지수함수부터 시작한다.
   
   ${(2)}$ $y = b^{x}$에서 $\frac{dy}{dx} = lim_{h \rightarrow  0}{\frac{y(x+h) - y(x)}{h}}$ 이므로
   -. $\frac{db^{x}}{dx} = lim_{n \rightarrow 0}{\frac{b^{x+h} -  b^{x}}{h}} = lim_{n \rightarrow 0}{\frac{b^{x}b^{h} -  b^{x}}{h}} = lim_{n \rightarrow 0}{\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h}}$
   
   ${(3)}$ 극한식의 성질에 따라 $lim_{n \rightarrow 0}{b^{x}\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h}} \rightarrow b^{x}lim_{n \rightarrow 0}{b^{x}\frac{(b^{h}-1)}{h}}$ 이며,
   -. $lim_{n \rightarrow 0}{\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h}} = C$라고 정의한다면 $Cb^{x}$
   -. 로그함수는 지수함수의 역함수이므로, 
   $\frac{dy}{dx}^{-1} = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{지수함수의 도함수} = \frac{1}{Cb^{x}} = \frac{1}{Cy}$
   -. 여기에서 지수함수와 연결되는 연결점이 생긴다.
   
   
2. 지수함수
   
   1) 지수함수의 도함수가 $Cb^{x}$라는 점을 도출했으므로 이를 이용한다.
   
   ${(1)}$ 로그함수의 도함수는 역함수의 성질에 따라 $\frac{dx}{dy}^{-1} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
   -. 즉, $\frac{1}{cB^{x}}$이고, $b^{x} = y$라고 한다면 이는 $\frac{1}{cy}$이다.
   -. 관건은 이제 상수 $\frac{1}{c}$를 구하는 것이다.
   
   ${(2)}$ 기울기 $\frac{1}{c}$를 $log_{b}(y)|_{y = 1} = log_{b}(1) = 0$에서 구하면
   -. $y=1$에서 그 기울기는 $\frac{1}{c}$ 이다.
   -. $\frac{1}{c} = lim_{h \rightarrow 0}\frac{log_{b}((y = 1)+h) - log_{b}(1)}{h} = lim_{h \rightarrow 0}log_{b}[(1+h)^{\frac{1}{h}}]$
   -. 이 때, $\frac{1}{h}$가 지수로 올라간 이유는 로그함수의 성질 7을 이용한 것이다.
   -. 또, $log_{b}(1) = 0$이라는 성질을 이용하여 소거하였다.
   
   ${(3)}$ 이제, $h \rightarrow 0$이라면 이는 $(1+0)^{\frac{1}{h \rightarrow 0}}$ 이며 이는 $1^{\infty}$와 동등하다.
   -. 위 식을 쌍대문제로 바꾸면 
   $$ lim_{h \rightarrow 0}log_{b}[(1+h)^{\frac{1}{h}}] \rightarrow lim_{n \rightarrow \infty}log_{b}(1 + \frac{1}{n})^{n}$$
   즉 h를 0으로 보내는 문제는 n을 무한대로 보내는 문제로 변형 가능하다.
   
   ${(4)}$ 이제 관건은, $lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}$의 정체를 파악하는 것이다.

   n = [1 to 10500]까지의 컴퓨터 연산 결괏값.	n이 증가할수록  $(1 + \frac{1}{n})^{n}$는 점점 e = 2.71828182..로 접근한다.

   -. 연산을 하면, 이 함수의 극한은 자연상수 $e = 2.71828182..$로 접근하는 것을 확인할 수 있다.
   -. 즉, 상수 c는 자연상수 e의 함수꼴이며, 이것이 바로 우리가 찾던 결과다.
   
   
3. 지수함수와 로그함수의 관계
   1) $log_{b}(y)$ 에서 그 도함수 $\frac{1}{c} = log_{b}lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n} = log_{b}e$ 이므로
   
   ${(1)}$ 역수를 취하면 $c = log_{e}(b)$이다.(로그의 성질중 역수법칙 6을 사용한다)
   
   2) 지수함수의 도함수를 구하면
   
   ${(1)}$ 지수함수의 도함수 $Cb^{x}$에서 $C = log_{e}(b)$ 이므로 
   $$ \frac{d(b^{x})}{dx} = b^{x} \cdot log_{e}(b)$$ 이다.
   
   3) 로그함수의 도함수를 구하면
   
   ${(1)}$ 로그함수의 도함수 $\frac{d(log_{b}(y))}{dy} = \frac{1}{Cy}$에서 $C = log_{e}(b)$ 이므로
   $$ \frac{d(log_{b}(y))}{dy} = \frac{1}{log_{e}(b) \cdot y}$$ 이다.
   
   
4. 자연상수의 경이로움
   1) 만약 $log_{e}(b)$에서 $b = e$로 놓으면
   ${(1)}$ $\frac{d(b^{x})}{dx} = b^{x} \cdot log_{e}(b)$ 에서 $e^{x} \cdot log_{e}(e) = e^{x}$
   -. 즉. $e^{x}$의 도함수는 여전한 자기 자신인 $e^{x}$이다.
   2) 만약 $log_{b}(y)$에서 그 밑 $b = e$라면
   ${(1)}$ $\frac{d(log_{e}(y))}{dy} = \frac{1}{log_{e}(e) \cdot y} = \frac{1}{y}$이다.