18. 복소수와 복소평면

1. 복소수란?
   
   1) 실수 + 허수로 구성된 수를 복소수라고 한다.
   
   ${(1)}$ 실수는 허수부가 0인 복소수라고 볼 수 있다.
   
   2) 복소수의 사칙 연산은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

   사칙연산	규칙	예시
   덧셈/뺄셈	실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더하고 뺀다	$(3 + 2i) + (6 + 4i)\\ = 9 + 6i$
   곱셈	$i^{2} = -1$ 임에 유의하며 푼다	$(3 + 2i)(6+4i) \\ =18 + 12i + 8i + 8i^{2}\\ = 10 + 20i$
   나눗셈	허수부의 부호가 반대로 바뀐 켤레복소수를 이용한다	$\frac{3+2i}{6+4i}\\ = 3+2i \times \frac{1}{6+4i}\\ = 3 + 2i \times \frac{1}{6+4i} \cdot \frac{6-4i}{6-4i}\\ = 3 + 2i \ times \frac{6-4i}{52} = \frac{26}{40}$

2. 복소 평면
   
   1) 실수부와 허수부의 계수를 좌표로 갖는 평면을 복소평면이라고 한다.
   

   복소평면의 예시. $3 + 4i$ 라는 복소수는 복소평면상에서 하나의 벡터가 되며, 그 길이와 방향(각도)를 구할 수 있다.

   
   ${(1)}$ 복소평면에서 나타나는 특징을 정리하면 아래와 같다.

   -. 복소평면의 덧셈은 벡터의 덧셈과 같다.
   -. 복소평면에서도 극좌표 변환은 가능하다.
   -. (위에서 연결되어) 복소수의 제곱은 복소평면상에서 각을 두배로 만든다.	①$r(cos\theta + isin\theta)$ 에서 $r(cos\theta + isin\theta)^{2} = cos^{2}\theta - sin^{2}\theta + 2isin\theta cos\theta$ ②이 때, 삼각함수의 배각공식에 따라 $ cos^{2}\theta + sin^{2}\theta = cos2\theta$ $ 2isin\theta cos\theta = isin2\theta$ ③두 항을 합쳐서 정리하면 $r(cos\theta + isin\theta)^{2} = cos2\theta + isin2\theta$ ④위와 같은 관계를 일반화하면 드무아브르 공식을 도출할 수 있다. $r(cos\theta + isin\theta)^{2} = cos(n\theta) + isin(n\theta)$