19. 등비급수와 테일러 급수

1. 등비급수
   1) 무한급수중의 하나로, 등비수열 $a_{n} = ax^{n}$의 수렴값을 보여준다.
   ${(1)}$ 이 때, 뒤에 등장하는 테일러전개의 논의를 위하여 a = 1이고, 이 수열이 수렴하는 경우만 다루고자한다
   
   2) 다음의 과정을 거쳐서 등비급수의 수렴값을 알 수 있다.
   
   ${(1)}$ 우선, 다음의 식의 모든 항을 $x$에 대하여 미분한다.
   $$ \frac{d(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx} = 0 + 1+ 2x + 3x^{2} + ... \\
   \frac{d^{2}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{2}} = 0 + 0 + 2 + 6x + ... \\
   \frac{d^{3}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{3}} = 0 + 0 + 0 + 6 + ...$$ 
   
   ${(2)}$ 이 때, x에 0을 대입하면
   $$ \frac{d(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx}|_{x=0} = 0 + 1+ 0 + 0 + ...  = 1\\
   \frac{d^{2}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{2}}|_{x=0} = 0 + 0 + 2 + 0 + ... = 2\\
   \frac{d^{3}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{3}}|_{x=0} = 0 + 0 + 0 + 6 + ... = 6\\
   ...\\
   \frac{d^{n}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{n}}|_{x=0} = n!
   $$ 
   
   3) 한편, $1 + x + x^{2} + x^{3} + ...$에 대해서 다음의 관계가 성립됨을 알 수 있다.
   $$ 1 + x = \frac{1-x^{2}}{1-x}\\
   1+x+x^{2} = \frac{1-x^{3}}{1-x}\\
   1+x+...+x^{n-1} = \frac{1-x^{n}}{1-x}$$
   
   ${(1)}$ $n \rightarrow \infty$ 일때 왠지 그 형태는 $\frac{1-x^{n}}{1-x}$와 밀접한 연관이 있을것 같은 착안을 얻을 수 있다. 
   -. 위의 관계를 그래프로 그리면 아래와 같이 시각화 할 수 있다.
   

   $1+x$, $1+x+x^{2}$, $1+x+x^{2}+x^{3}$...는 수렴이 보장되는 (-1 ~ 1) 사이에서 점점 $\frac{1}{1-x}$로 수렴하는 양상을 확인할 수 있다. 이는 우연이 아니다.

   
   ${(2)}$ 위 그래프의 착안이 실제인지 다음과 같이 확인해보자
   -.  $$1+x+...+x^{n-1} = \frac{1-x^{n}}{1-x}$$ 를 이용하여 $n \rightarrow \infty$일 때의 극한값을 구하면
   $$lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}x^{n-1} = lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-x^{n}}{1-x}$$
   
   -. 이 때, 수렴하는 경우만 보기로 했기 때문에(즉, $(-1 < x < 1)$로 한정 ) 
   $$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-x^{n}}{1-x} = \frac{1}{1-x}$$ 이다.
   
   -. 이로서 우리가 그래프에서 착안했던 내용이 사실임을 확인하였다.
   
   
2. 테일러급수
   
   1) 등비급수를 일반화하여 $f(x) = \sum_{0}^{\infty} a_{n}x^{n}$를 이용하여 함수 $f(x)$를 근사하는 (무한대까지 가능한) 항들의 결합으로 표현하는 것을 테일러 급수라고 한다.
   
   ${(1)}$ $a_{n} = 1$인 경우, 이는 앞에서 구한 등비급수와 동일하다
   
   ${(2)}$ 모든 함수에 대하여 일반화하여 적용하기 위해 $a_{n}$을 적절히 선택하는것이 중요하다.
   
   2) 엄밀한 정의는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

   $x=\alpha$를 중심점으로 한 $f(x)$의 테일러 급수는 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$f(x) = f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha) + \frac{1}{2}f''(\alpha)(x-\alpha)^{2} + ...\\ =\sum_{0}^{\infty}\frac{f^{n}(\alpha)}{n!}(x-\alpha)^{n}$$

   
   3) 테일러 전개의 유도
   
   ${(1)}$ 예시를 통해 일반화를 시도한다. 
   
   ${(2)}$ $\sum_{0}^{\infty} a_{n}x^{n} = e^{x}$를 정의할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.
   -. $e^{x} =  1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + ...$
   -. 이제, 관건은 양변을 일치시키는 $a_{n}$을 도출하는 것이다.
   -. 만약 $a_{n} = \frac{1}{n!}$과 같이 놓고 n차 미분을 수행하면 아래와 같은 관계를 볼 수 있다. 

   n	좌변	우변
   1	$\frac{d(e^{x})}{dx}|_{x=0}$ = $e^{0} = 1$	$\frac{d(\sum_{0}^{\infty} a_{n}x^{n})}{dx}|_{x=0}\\ = 0 + \frac{1}{1!} + \frac{2\cdot0}{2!} + \frac{2\cdot(0)^{2}}{3!} + ...\\ = 1$
   2	$\frac{d^{2}(e^{x})}{dx^{2}}|_{x=0}$ = $e^{0}= 1$	$\frac{d^{2}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}x^{n})}{dx^{2}}|_{x=0}\\ = 0 + 0 + \frac{2\cdot1}{2!} +\frac{3 \cdot 2 \cdot(0)}{3!} + ...\\ = 1$
   3	$\frac{d^{3}(e^{x})}{dx^{3}}|_{x=0}$ = $e^{0}= 1$	$\frac{d^{3}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}x^{n})}{dx^{3}}|_{x=0}\\ = 0 + 0 + 0 +\frac{3 \cdot 2 \cdot 1 }{3!} + ...\\ = 1$

   (단, $e^{x}$를 전개하면서 x = 0 근처에서 정의했음을 가정하였다.)
   
   -. 즉, $a_{n} = \frac{1}{n!}$으로 놓는 우리의 전략을 성공했다.
   ${(3)}$ 즉, 다음과 같이 일반화할 수 있다.(x = 0 근처뿐만 아니라 $x=\alpha$ 근처로 일반화한다)
   
   

   n	좌변	우변
   1	$\frac{d(f(x))}{dx}$	$\frac{d(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx}\\ = 0 + a_{1} + 2 \cdot a_{2}(x-\alpha) + 3 \cdot a_{3} (x-\alpha)^{2} + ... $ 만약 $x = \alpha$ 라고 정의하면  $\frac{d(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx}|_{x=\alpha}  = a_{1}\\ $
   2	$\frac{d^{2}(f(x))}{dx^{2}}$	$\frac{d^{2}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx^{2}}\\ = 0 + 0 + 2 \cdot a_{2} + 3 \cdot 2 \cdot a_{3} (x-\alpha) + ... $ 만약 $x = \alpha$ 라고 정의하면  $\frac{d^{2}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx^{2}}|_{x=\alpha}  = 2 \cdot a_{2}\\ $
   3	$\frac{d^{3}(f(x))}{dx^{3}}$	$\frac{d^{2}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx^{2}}\\ = 0 + 0 + 0 + 3 \cdot 2 \cdot a_{3} + ... $ 만약 $x = \alpha$ 라고 정의하면  $\frac{d^{2}(\sum_{0}^{\infty} a_{n}(x - \alpha)^{n})}{dx^{2}}|_{x=\alpha}  = 3! \cdot a_{3} $

   
   -. 즉, 미분 차수가 높아질수록 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다.
   $\frac{d(f{x})}{dx}|_{x=\alpha} = a_{1}$
   $\frac{d^{2}(f{x})}{dx^{2}}|_{x=\alpha} = 2! \cdot a_{2}$
   $\frac{d^{3}(f{x})}{dx^{3}}|_{x=\alpha} = 3! \cdot a_{3}$
   -. 이 중, 우리가 구해야 하는 $a_{n}$만 우변에 남기고 상수계수는 좌변으로 이항하면
   $\frac{f'(\alpha)}{1!} = a_{1}$
   $\frac{f^{2}(\alpha)}{2!} = a_{2}$
   $\frac{f^{3}(\alpha)}{3!} =a_{3}$
   ...
   $\frac{f^{n}(\alpha)}{n!} =a_{n}$
   (단, $\frac{d^{n}(f(x))}{dx^{n}} = f^{n}(\alpha)$로 단순화함)
   
   ${(4)}$ 상수계수 $a_{n}$을 구했으므로, 이를 결합하여 일반화한 공식을 다시 쓰면
   $$f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{f^{n}(\alpha)}{n!}(x - \alpha)^{n} \\
   = 1 +  \frac{f(\alpha)}{1!}(x-\alpha) + \frac{f^{2}(\alpha)}{2!}(x-\alpha)^{2} \frac{f^{3}(\alpha)}{3!}(x-\alpha)^{3} + ...$$
   
   ${(5)}$ 이 때, 위 항에서 $x=\alpha=0$ 근처에서 정의한 테일러 급수의 특수한 형태를 매크로린 급수라고 정의하고 특별하게 취급한다.

   cos(x) 함수에 대해서 $\alpha = 0$ 근처에서 정의한 테일러급수 $cos(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + ...$에 대한 그래프 항이 추가될수록 점점 cos(x)에 근접하는 양태를 확인할 수 있다.