17. 극좌표와 극방정식

1. 극좌표란?
   
   1) 우리가 보통 익숙한 3차원의 표준 좌표계(데카르트 좌표계, 직교좌표계)는 x,y(+z)의 2~3개의 축으로 이루어진 좌표계이다.
   
   2) 극좌표란 표준 좌표계에서 각도 $\theta$와 거리 $r$로 좌표를 변환하여 표현한 새로운 좌표를 의미한다.

   $(x,y)$를 가지는 표준 좌표계와 극좌표의 관계. $(x,y)$는 극좌표상에서 각도 $\theta$와 그 길이 $r$로 변환될 수 있다.

   3) 표준좌표는 극좌표로 변환될 수 있고, 반대로 극좌표 또한 표준좌표로 변환될 수 있다.
   
   ${(1)}$ 변환을 수행하는 변환식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

   표준좌표	극좌표변환$\rightarrow$	극좌표
   (x,y)	$(\sqrt{x^{2} + y^{2}}, tan^{-1}\frac{y}{x})$	($r$, $\theta$)
   	$(r cos(\theta), r sin\theta)$
   	$\leftarrow$표준좌표변환

   
   ${(2)}$ 한편, r의 기준에서 $(x,y)$를 이용한 변환식을 구할 수 있다.
   -. $x^{2}  + y^{2} = r^{2}cos^{2}(\theta) + r^{2}sin^{2}(\theta) = r^{2}(cos^{2} + sin^{2})$ 에서
   -. 삼각 함수의 배각 공식에 따라 $cos^{2} + sin^{2}  = 1$이므로, $x^{2} + y^{2} = r^{2}$이 된다.
   -. 다시 말해, $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$로 표현할 수 있다.
   
   
2. 극좌표와 극방정식
   
   1) 극좌표인 $r,\theta$사이의 관계로 결정되는, $r = F(\theta)$의 매개변수를 기준으로 모양이 결정되는 방정식
   ${(1)}$ $r = F(\theta)$를 통해 극좌표계에서 어떤 모양으로 나타나는지 확인해볼 수 있고, 이를 다시 표준좌표계로 바꾸었을 때 어떤 모양으로 나타나는지 변환하여 확인해볼수도 있다.
   
   ${(2)}$ 예를 들어서, $r = cos(\theta)$라는 방정식을 표준 좌표계로 변환하면
   -. $r = cos(\theta)에 r을 곱하면 r^{2} = rcos(\theta)$
   
   -. 여기에 $x = rcos(\theta)$ 라는 표준좌표변환 공식을 이용하면 $x = cos \cdot cos(\theta) = cos^{2}(\theta)$, $y = cos \cdot sin(\theta)$
   
   -. $r^{2} = x^{2} + y^{2}$이므로 여기에 $(x,y)$를 대입하면
   
   -. $x^{2} + y^{2} = cos^{2} \cdot cos^{2}(\theta) + cos^{2}\cdot sin^{2}(\theta) = cos^{2}(cos^{2} + sin^{2}) = cos^{2}$
   
   -. 이때, 이미 $x = cos^{2}(\theta)$라는 사안을 도출하였으므로, 여기에서 $x^{2} + y^{2} = x$라는 방정식을 도출할 수 있다.
   
   -. 이는 반지름이 x인 원의 방정식이므로, $r = cos(\theta)$는 원의 모양을 띄고 있음을 유추할 수 있다.
   
   3) 여러 매개함수 $r = F(\theta)$에 대하여 표준좌표계에서 표현한 그림들은 아래와 같다.

매개함수	그래프	곡선의 별칭
$r=cos(\theta)$		원
$r=1-cos(\theta)$		심장형 곡선
$r = cos2(\theta)$		사엽장미형
$r=(1 + b\cdot cos(\theta)$		리마송