20. 평면과 정사영

1. 평면과 평면의 방정식
   
   1) 일변수 함수인 $y=mx + b$에서 변수를 하나 더 추가한 이변수 함수로 확장한 것
   
   ${(1)}$ 일변수 함수에서 $\frac{dy}{dx} = m$으로 간략하게 표현이 가능했으나, 변수가 추가되어 평면으로 확장된 경우 하나의 기울기를 갖는 평면은 매우, 무수하게 많으므로 추가 정보가 필요함
   ${(2)}$ 평면을 단 하나로 고정하기 위해서는 다음의 정보가 필요
   
   -. 어떤 평면 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$가 있다고 가정할 때, 이 평면을 고정하기 위해서는 그 평면을 결정지을만한 고유한 벡터가 필요
   
   -. 평면에 대하여 고유한 벡터는 어떤 평면에 대하여 수직인 방향으로 뻗어나가는 '법선 벡터'를 고려 가능
   
   -. 법선벡터는 그 평면에 대하여는 오직 하나만 존재하기 때문
   
   ${(3)}$ 어떤 평면과 그 평면과 수직인 법선벡터의 내적은 0이다.
   -. 이를 이용하면 어떤 평면을 정의하는 평면의 방정식을 정의할 수 있다.

   평면의 한 점 $P_{0}$를 지나며 법선 벡터 $N = (a,b,c)$에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같다. $(a,b,c) \cdot (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}) = 0$ 또는 $a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) + c(z - z_{0}) = 0$ 이 방정식을 만족하는 좌표 (x,y,z)는 이 평면 위에 존재한다.

   법선 벡터 N이 지나는 평면위의 (임의의)원점 $P_{0}$ 에 대하여, 평면 위의 점인지 알기를 원하는 $P=(x,y,z)$가 있다고 할 때 그 벡터(파란색 선)은 $(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0})$로 정의할 수 있다. 파란색 선인 벡터는 법선벡터 N과 내적하면 0이 된다.

   
   
2. 정사영이란?
   
   1) 한 벡터에서 다른 벡터로 방향 전환하였을 때 그 방향으로 벡터의 크기를 재정의 해주는것
   
   2) 다음과 같은 공식으로 재정의 할 수 있다.
   ${(1)}$ 정사영 벡터 A가 존재하고, 크기를 재정의하는 벡터 B가 존재할때

   P라는 정사영 벡터는 어떤 단위벡터에 |P|라는 그 벡터의 길이를 곱한 것으로 볼수 있다.

   -. (우리가 구해야 하는것) P라는 정사영 벡터는 길이 1인 어떤 단위벡터에 길이 |P|를 곱해 확장한 것으로 볼수도 있다.
   -. (길이 |P|) 길이 |P|는 B의 벡터의 길이 $|B|$와 벡터 A간의 사이각(=$\theta$)를 이용하면 도출할 수 있다.
   -. (단위벡터) 단위 벡터는 벡터A를 그 길이 $|A|$로 통제한 $\frac{A}{|A|}$를 이용하면 도출할 수 있다.
   
   ${(2)}$ 도출한 재료들을 모두 결합하여 정사영 벡터 P를 정의하면
   -. (길이 |P|) $|B| \cdot cos\theta = \frac{A \cdot B}{|A|}$
   -. (단위벡터) $\frac{A}{|A|}$
   -. $P = (길이 |P|) \cdot (단위벡터) = \frac{A \cdot B}{|A|} \cdot \frac{A}{|A|} = \frac{A \cdot B}{|A|^{2}}\cdot A$