3. 기댓값

1. 기댓값?
   1) 각 사건이 벌어졌을때의 원하는 바가 이루어질 것으로 기대되는 이득과 그 건수들의 확률을 곱해 모두 더한 것
   2) 우리가 흔히 말하는 평균이 이 정의에 포함된다.
   
   
2. 정의
   1) 연속형 확률변수의 경우 
   (1)  $\int_{-\infty }^{ \infty }{|x|}f{(x)}dx < \infty $ 일때 ${(즉, 발산하지 않고 수렴할 때)}$
   (2) 연속형 확률변수의 기댓값 $E{(X)}$는  $\int_{-\infty }^{\infty}{x}f{(x)}dx$로 구한다 
   
   2) 이산형 확률변수의 경우
   (1) $\sum _{-\infty }^{ \infty }{|x|}p{(x)} < \infty$ 일때${(즉, 발산하지 않고 수렴할 때)}$
   (2) 이산형 확률변수의 기댓값은 $\sum _{-\infty}^{\infty}{x}p{(x)}$로 구한다
   
   
3. 기댓값의 변환
   1) $Y=g{(x)}$ 이고  $\int_{-\infty}^{\infty}{|g{(x)}|}f{(x)}dx < \infty$ 일때 기댓값 $E{(Y)}$는 $\int_{-\infty }^{\infty}{g{(x)}}f{(x)}dx$로 구한다
   2)  $ \sum _{-\infty }^{\infty}{\left|g{(x)} \right|}p{(x)} < \infty $ ${(즉 수렴)}$할때 기댓값 E(Y)는 $ \sum _{-\infty }^{\infty}{g{(y)}}p{(x)} $ 로 구한다
   
   
4. 기댓값의 선형성
   1) 기댓값은 상수를 포함하는 선형 결합에 대하여 선형성을 가진다.
   2) 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.
   

   $g_{1}(X)$ 그리고 $g_{2}(X)$를 확률변수 X에 대한 함수꼴이라 하고, $g_{1}(X)$와 $g_{2}(X)$의 기댓값이 존재한다고 하자. 임의의 상수 $k_{1}, k_{2}$에 대하여 $$E[k_{1}g_{1}(X) + k_{2}g_{2}(X)] = k_{1}E[g_{1}(X)] + k_{2}E[g_{2}(X)]$$ 는 성립한다.

5. 예제
   $f{(x)}\left\{\begin{matrix}
    2(1-x) \quad 0<x<1 \\ 0 \quad else
   \end{matrix}\right.$ 일때
   1) $E{(x)} = \int_{0}^{1}{x\cdot 2(1-x)}dx=\int_{0}^{1}{(2x-2x^{2})}dx=\begin{bmatrix}
   x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}
   \end{bmatrix}^{1}_{0}=\frac{1}{3}$