2. 변수 변환

• 확률변수의 변환
  1) 확률변수 X를 다른 확률변수 Y에 대응시키는것
  2) 1대 1 대응(전단사 함수)인 경우와 1대  다 대응인 경우가 존재
  
  
• 1대 1 대응(전단사 함수)일 경우의 확률변환
  1) 의 관계가 성립된다고 한다면 역행렬이 존재하며
  2) 역함수 를 X 대신 대입하면 변환이 완료된다

• 1대 다 대응일 경우 확률변환
  1) 하나 하나의 포인트에 대하여 각각 관계를 설정할 수 밖에 없다
  
  
• 연속확률변수의 변환
  1)  확률변수 X가 PDF $f_{x}{(x)}$를 가지고, 확률변수 Y에 대한 PDF $y=g_{x}{(x)}$라 하고 각각의 PDF의 받침 $s_{x}$와 $s_{y}$가 서로 1:1로 대응되는, 즉 전단사 함수 관계라고 할 때 
  
  2) $P( Y \leq {y} )= P\left ( y\leq {g{(X)}} \right ) = P\left ( x\leq {g^{-1}{(y)}} \right )=F_{x}\left ({g^{-1}{(y)}} \right)$ 의 관계가 성립된다
  (1) 이 때, $F_{x}\left (A\right)$ 는 확률변수 A에  대한 CDF이다
  
  3) 이 때, pdf는 cdf의 미분이므로(아래 그림 참조)
  (1) $f_{g}\left (y\right ) = \frac{F_{x}\left ( g^{-1}{(y)}\right )}{\triangle {y}} = f_{x}(g^{-1}{(y)})\cdot \frac{g^{-1}{(y)}}{\triangle {y}}(Chain Rule)$

3. 위 내용을 다시 정리하면
(1) 역함수를 변수로 투입하여 구한 CDF를

(2) 역함수의 미지수 y로 미분한 Chain-rule에 의해 도출된 함수가 새로운 PDF가 된다

 

이 때, 체인룰에 의해 튀어나온 $\frac{g^{-1}{(y)}}{\triangle {y}}$ 를 변환 야코비안이라고 한다