4. 적률생성함수

1. 적률생성함수? 적률?
   1) 적률생성함수는 확률변수의 '적률'을 생성해주는 함수
   2) 적률이란 영어로 번역하면 모먼트(Moment)로, 확률 변수가 물리학의 모먼트같이 확률 변수의 특성을 각각의 차원별로 나타나게 해주는 통계량이다
   
   
2. 적률생성함수의 정의
   1) X를 $e^{tx}$ 라는 기댓값이 존재하는 확률변수라고 하면, E{(e^{tx})} 로 표현할 수 있다.
   2) 위와 같은 상황에서
   ${(1)}$ 이산형 확률분포라면, $E{(e^{tx})} =  \sum (e^{tx})p[x] < \infty$
   ${(2)}$ 연속형 확률분포라면 $E{(e^{tx})} = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$
   3) 결국, $E{(e^{tx})} = M(t)$로 정의하며, 이 함수를 적률생성함수라고 한다
   
   
3. 적률생성함수는 왜 적률을 생성하는걸까?
   1) 매크로린 급수로 $e^{tx}$를 전개하면
   
   ${(1)}$ $e^{tx} = 1 + te^{t0} \cdot x + \frac{1}{2!}t^{2}e^{t0}\cdot x^{2} + \frac{1}{3!}t^{3}e^{t0}\cdot x^{3} + ...$
   
   ${(2)}$ 위는 곧 $1 + t\cdot x + \frac{1}{2!}t^{2}\cdot x^{2} + \frac{1}{3!}t^{3}\cdot x^{3} + ...$
   
   2) 양변에 기댓값을 씌우면
   
   $({1})$ $E(e^{tx}) = 1 + t\cdot E(x) + \frac{1}{2!}t^{2}\cdot E(x^{2}) + \frac{1}{3!}t^{3}\cdot E(x^{3}) + ...$
   
   3) 이제, 위 식을 t에 대하여 1..2..n계 미분하고, t = 0을 대입하면
   
   $({1})$ $\quad if \quad n = 1$ : $\frac{\partial E(e^{tx})}{\partial t^{}} = 0 + E(x)+\frac{1}{2!}2(t = 0) \cdot E(x^{2})+\frac{1}{3!}3(t = 0)^{2}\cdot E(x^{3})+ ... = E(x)$
   
   $({2})$ $\quad if \quad n = 2 : \frac{\partial^{2} E(e^{tx})}{\partial t^{2}} = 0 + 0 + \frac{1}{2!}2 \cdot E(x^{2}) + \frac{1}{3!}6(t = 0)\cdot E(x^{3}) + ... = E(x^{2})$
   
   4) 정리하면, 각각을 매크로린 급수로 전개하고 t에 대하여 n번 미분후, t = 0을 대입하면 우리가 원하는 각각의 적률 $E{(x)}, E{(x)}^{2}$... 등이 나오며, 뒤에서 우리가 원하는 '평균' 과 '분산' 이라는 유명한 통계량을 생산하는데 활용된다.
   
   
4. 예제