문과생 네버랜드의 데이터 창고

정의 1) 변수들이 서로 밀접하게 연관이 되어있어 한 변수만의 미분이 어려운 $f(x,y) = 0$꼴의 함수를 미분하는 방법 2) y를 x에 대해(혹은 x를 y에 대해) 명시적으로 풀지 않고도 연쇄 법칙을 이용해 미분이 가능하다 3) 일반적인 양함수 $f(x)$를 미분하는 방법과는 달리 기울기를 알기 위해선 x와 y의 두개의 값 모두가 필요하다 예시로 보는 음함수 미분법 1) $y^{5} + xy = 3$ 이라는 함수에 대해서, 이는 x와 y가 밀접하게 연관된 방정식이기 때문에 y에 대한 꼴로 정리하기가 어렵다(즉, 음함수이다) 2) 이 함수를 y에 대한 방정식으로 가정하고 x에 대해 미분을 하면 $\frac{y^{5} + xy}{dx}$ 는 연쇄법칙을 활용하여 $({1})$ $\frac{y^{5}}{d..

연쇄법칙 1) 합성함수의 미분법으로, 합성함수의 가장 내부에 있는 변수의 변화가 외부 함수의 변화에 어떤 정도의 영향을 미치는지를 기울기로 표현하는 것 2) 중간값 정리에 따라, $x \rightarrow \Delta x$ 일수록 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$는 점차 $\frac{dy}{dx}$로 수렴하고, 마찬가지로 외부 함수도 $y \rightarrow \Delta y$ 일수록 $\frac{\Delta z}{\Delta y}$는 점차 $\frac{dz}{dy}$로 수렴한다. 시스템으로서 z = f(g(x))와 그 미분의 그래프 3) 예시를 통한 정의는 아래와 같다. $g(x)$가 x에서 도함수가 존재하고 $f(y)$가 $y=g(x)$에서 도함수가 존재한다고 가정하자. 그러면 $z=..

평균값 정리 1) 증분에 대한 전체적인 것(즉, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) 과 국소적인 것(즉, $\frac{dy}{dx}$)을 연결시키는 정리 2) 어떤 구간(예를 들면, 아래 그림의 0 ~ b까지의 구간)의 전체 기울기와 어느 한 지점의 순간 기울기($f'(c)$)가 일치되는 지점 c가 그 구간내에 반드시 존재한다는 정리이다. 3) 위와 같은 그래프를 갖는 함수 $f(x)$가 있다고 할 때 ${(1)}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(0)}{b-0}$ 일 때, 0 ~ b 구간내에서 이 함수의 기울기는 최종적으로 기울기가 0이다(함수값이 0에서 결국 0으로 간다). ${(2)}$ 순간적인 기울기 변화인 $\frac{dy}{dx} ..

정의 1) f(x) = 0에 도달하는 수렴 방식의 수렴방식의 반복법 2) 반복법 자체의 방법론은 아래와 같은 예시를 따른다. ${(1)}$ $F(X_{n}) = X_{n + 1}$의 무한 수열 ${(2)}$ 예를 들어, $cos(x_{0})$를 세 번 반복하면 ${(3)}$ $cos(cos(cos(x_{0})))$이 된다. 즉 계산기의 cos 버튼을 세 번 누르는것과 같다. ${(4)}$ 이 경우, $cos(0.7391)$에서 자기 자신과 같은 0.7391이 나오는데 이 지점이 바로 고정점이다. 반복법 $F(X_{n}) = X_{n + 1}$의 예시. 점차적으로 고정점 0.7391에 가깝게 다가가게 된다. ${(5)}$ 이 때, 총 이동 길이는 그 기울기인 $\frac{F(x)}{\partial x}$를..

정류점이란? 1) 어떤 함수의 정의역 $x = c$ 근처에서 가장 높은 함수값을 가지는 지점을 국소 최대(극대점), 가장 낮은 함수값을 가지는 지점을 극소점이라고 한다 2) 극대점, 극소점이 전체 함수에서 가장 높거나 가장 낮은 지점이라면, 그 지점을 최대점 혹은 최소점이라고 표현한다 3) 최대점 혹은 최소점은 함수에서 기울기 = 0인 지점(정류점), 미분이 없는 지점(거친점), 정의역의 (양)끝점에서 생성될 수 있으며, 이 때 이 지점들을 임계점이라고 표현한다. 4) 모든 정류점과 거친점, 정의역의 양 끝점에서 f(x)를 구하고, 그 중 최대 / 최소인 지점이 바로 최대점 / 최소점이다 정류점과 이계도함수 1) $f{(x)}$를 1계 미분한 $f'(x)$는 기울기를 나타낸다 ${(1)}$ $f'{(x)..

정의 1) 함수의 증분 $\Delta x$, $\Delta y$를 거의 따라가는 접선의 변화량 $dx$, $dy$를 미분소라고 한다. 2) 이 때, 위 그림에서 $\Delta x$에 따른 함수의 변화량은 $\Delta y$ 이다. 즉 $$ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$ 3) 이 때, $dx$에 따른 접선의 변화량은 $dy$ 이다. 즉 $$ dy = f(x) + f'(x)\Delta x $$ 4) 정의역 x의 변화량은 $\Delta x = dx$로 같지만, y의 변화량은 $\Delta y$와 $dy$가 그 오차만큼 차이가 난다. => 다시 말해, $\Delta y$는 함수에 가까운데 비해 $dy$는 접선에 더 가깝다. 예시로 보는 미분소 1) $y = x^{2}$은 $\f..

선형 근사? 1) 함수의 접선을 찾은 후, 접선을 따르는 근삿값을 기반으로 실제값 y를 추정하는 것 2) 접선 방정식 $Y = f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$를 이용한다. ${(1)}$ 이 때, $f(x + \Delta x)$의 접선 방정식을 이용한 근사값은 $Y = f(x) + f'(x)\Delta x$ 가 된다. $({2})$ 왜냐하면, $\alpha$가 x 근처에서 매우 미소하게 움직인 무언가라면, 이 자체만으로도 $(x-\alpha) = \Delta x$ 로 볼 수 있기 때문이다. $({3})$ 방법론은 구체적으로 아래와 같다 1 주어진 조건하에 구하려는 값을 함수로 모델링 2 (x = 0 근처에서 정의된) 함수를 접선의 방정식 $Y = f(\alpha) + f'(\a..

덧셈법칙 1) $ f(x) = v(x) + u(x) $ 라고 한다면 $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta v(x)}{\Delta x} + \frac{\Delta u(x)}{\Delta x}$ 이다. ${(1)}$ $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{v(x + \Delta x) + u(x + \Delta x) - v(x) + U(x)}{\Delta x}$ ${(2)}$ 마지막 항을 정리하면 $\frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} + \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = \frac{\Del..