문과생 네버랜드의 데이터 창고

이중적분 1) 다중적분에 들어가기 전에, 이변수 함수의 이중적분을 먼저 살펴보자 2) 이중적분은 이차원의 면을 누적하여 부피를 만들어내는 적분이다. $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)dxdy $$ 단, f(x,y)는 구간 ${a \leq y \leq b}$, ${c \leq x \leq d}$에서 적분 가능해야한다. ${(1)}$ 일변수 함수의 적분의 선을 더해 면을 구성하는것에서 한단계 더 더 나아간 것이다. 일변수함수의 적분은 선을 모아 면을 만드는 적분이었다. 이중적분은 면을 더해 부피를 만든다. 미분소 직사각형인 $\Delta x \cdot \Delta y = A$를 z방향으로 늘린 직육면체를 도형의 모든 공간에 대하여 누적한다. 3) 이중적분의 성질 $({1)}$ 함수의..

선형 근사1) 일변수에서의 선형근사는 다음과 같이 구했다.$f(x) \approx f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$2) 이를 다변수로 확장하면 아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있다.$f(x,y) = f(x_{0},y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_{0})$다변수 함수의 뉴턴법1) 일변수 함수의 뉴턴법인 $x_{n+1} = x_{n} + \frac{f(x)}{f'(x)}$ 를 다변수 미적분으로 확대한 방법론2) 이변수 누턴법에 대하여 먼저 고려해보자${(1)}$ 함수가 두개이고, 변수도 두개인 경우를 상정하자.(다변수 뉴턴법은 기본적으로 변수보다 방정식의 갯..

다변수 함수의 연쇄법칙 1) 다변수 함수가 2차 이상의 깊이로 매개변수화 됐을 때를 가정하자. 예를 들면 아래와 같은 상황이다 ${(1)}$ $f[x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]$ 일 때, $x_{1} = x_{1}(t)$, ..., $x_{n} = x_{n}(t)$ -. 즉, $x_{1}, ..., x_{n}$ 가 2차 깊이의 t로 매개화된 상황이다. ${(2)}$ 이 경우, 매개변수 t의변화가 원함수에 영향을 주는 정도를 파악하기 위한 미분법이 필요하다. ${(3)}$ 이와 같은 미분을 $\frac{\partial f}{\partial t}$로 정의할 때 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{df}{dt} = [\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \fr..

편미분이란?1) 일변수 함수 $f(x)$가 아니라, 두 개 이상의 변수를 입력으로 받는 함수 $f(x_{1}, ..., x_{n}$이 존재할 떄${(1)}$ 이 함수에 대한 미분을 어떻게 구할것인가에 대한 문제가 생긴다.${(2)}$ 이 함수에 대하여 오직 한 개의 변수(ex, $x_{1}$의 영향에 대해서만 관심을 갖고 나머지 변수에 대해서는 일단 관심을 끄기로 한다면, 이것을 우린 편미분이라고 부른다.  ${(3)}$ 엄밀하게 정의한 편미분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.$\frac{\partial f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})}{\partial x_{1}} = lim_{x_{1} \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_{1}..

벡터곱이란? 1) 3차원 이하의 공간에서 정의되는 벡터의 곱 ${(1)}$ 기하학적으로 해석하면 이는 2차원에서는 평행사변형의 넓이를, 3차원에서는 육면체의 부피를 나타내는 값이다.(밑의 평행사변형과 벡터곱의 관계 참조) 2) 내적과는 달리, $A X B = |A||B||sin\theta|$의 관계가 성립된다. ${(1)}$ 이 때, 외적의 방향은 벡터 A와 B가 생성하는 평면(Hyperplane)에 수직 방향이다. 3) 벡터곱의 성질 ${(1)}$ 내적과 벡터곱의 덧셈은 각각의 벡터의 Norm의 제곱의 합이다. -. $|A \cdot B|^{2} + |A \ X \ B|^{2} = |A|^{2}|B|^{2}cos^{2}\theta + |A|^{2}|B|^{2}sin^{2}\theta\\|A|^{2}|B..

평면과 평면의 방정식 1) 일변수 함수인 $y=mx + b$에서 변수를 하나 더 추가한 이변수 함수로 확장한 것 ${(1)}$ 일변수 함수에서 $\frac{dy}{dx} = m$으로 간략하게 표현이 가능했으나, 변수가 추가되어 평면으로 확장된 경우 하나의 기울기를 갖는 평면은 매우, 무수하게 많으므로 추가 정보가 필요함 ${(2)}$ 평면을 단 하나로 고정하기 위해서는 다음의 정보가 필요 -. 어떤 평면 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$가 있다고 가정할 때, 이 평면을 고정하기 위해서는 그 평면을 결정지을만한 고유한 벡터가 필요 -. 평면에 대하여 고유한 벡터는 어떤 평면에 대하여 수직인 방향으로 뻗어나가는 '법선 벡터'를 고려 가능 -. 법선벡터는 그 평면에 대하여는 오직 하나만 존재하기 때문..

등비급수 1) 무한급수중의 하나로, 등비수열 $a_{n} = ax^{n}$의 수렴값을 보여준다. ${(1)}$ 이 때, 뒤에 등장하는 테일러전개의 논의를 위하여 a = 1이고, 이 수열이 수렴하는 경우만 다루고자한다 2) 다음의 과정을 거쳐서 등비급수의 수렴값을 알 수 있다. ${(1)}$ 우선, 다음의 식의 모든 항을 $x$에 대하여 미분한다. $$ \frac{d(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx} = 0 + 1+ 2x + 3x^{2} + ... \\ \frac{d^{2}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{2}} = 0 + 0 + 2 + 6x + ... \\ \frac{d^{3}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{3}} = ..

복소수란? 1) 실수 + 허수로 구성된 수를 복소수라고 한다. ${(1)}$ 실수는 허수부가 0인 복소수라고 볼 수 있다. 2) 복소수의 사칙 연산은 아래와 같이 나타낼 수 있다. 사칙연산 규칙 예시 덧셈/뺄셈 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더하고 뺀다 $(3 + 2i) + (6 + 4i)\\ = 9 + 6i$ 곱셈 $i^{2} = -1$ 임에 유의하며 푼다 $(3 + 2i)(6+4i) \\ =18 + 12i + 8i + 8i^{2}\\ = 10 + 20i$ 나눗셈 허수부의 부호가 반대로 바뀐 켤레복소수를 이용한다 $\frac{3+2i}{6+4i}\\ = 3+2i \times \frac{1}{6+4i}\\ = 3 + 2i \times \frac{1}{6+4i} \cdot \frac{6-4i}{..