문과생 네버랜드의 데이터 창고

T분포 1) 표준정규분포와 카이제곱 분포의 결합분포를 T분포라고 한다. ${(1)}$ 모평균과 모표준편차를 알기 어려운 상황에서, 자유도라 불리우는 표본의 갯수에 따라 통계적 성질이 결정된다. ${(2)}$ 자유도를 $n \rightarrow \infty$로 할 경우 정규분포로 수렴하므로, 정규분포의 근사 분포로서 주로 활용된다. 2) T분포의 유도 ${(1)}$ pdf의 유도 -. W ~ $N(0,1)$을 따르는 분포라 하고, V ~ $x^{2}(r)$을 따르는 분포라 하자. 두 분포는 서로 독립이다. -. 이 때, 두 분포는 독립이므로, 독립인 분포의 성질에 따라 pdf의 단순 결합이 가능하다. 즉 $$h(w,v) = [\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{w^{2}}{2})] \..

혼합분포? 1) 한 확률변수의 분포가 다른 분포의 영향을 받아 변형될 때 이를 혼합분포라고 한다. 2) 엄밀한 정의는 아래와 같이 나타낼 수 있다. 확률변수들의 열 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$이 각각 $pdf \ f_{1}, f_{2}, ..., f_{n}$ 을 가지고, 각각이 받침 $s_{1}, s_{2}, ..., s_{n}$을 각각 가진다고 하자. $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$은 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$인 상수라 하자. 이 확률변수들의 결합된 혼합분포의 pdf는 아래와 같이 정의할 수 있다. $$f(x) = p_{1}f_{1} + p_{2}f_{2} + ... + p_{n}f_{n} = \sum_{i = 1}^{n}p_{i}f_{i}$..

표준 다변량 정규분포 1) 표준 다변량 정규분포의 pdf ${(1)}$ $z_{1}, ..., z_{n}$을 i.i.d이고 $N(0,1)$을 따르는 확률변수라고 할 때 -. 이 확률표본들의 확률벡터 Z 의 결합확률밀도함수는 i.i.d에서의 조건에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. $f_{z}(Z) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp(-\frac{z^{2}}{2}) = (\frac{1}{2\pi})^{\frac{n}{2}}exp(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}z_{i}^{2})$ -. 위 식을 벡터형식으로 고쳐서 다시 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다. $(\frac{1}{2\pi})^{\frac{n}{2}}exp(-\frac{1}{2}z^{..

정규분포란? 1) 정규분포는 현대 통계학의 추론, 검정 혹은 예측에 필수적인 역할을 담당하고 있는 가장 중요한 분포이다. 2) 온갖 자연계의 자연스러운 현상을 수치적으로 모델링이 가능하다는 장점이 있다. ${(1)}$ 키와 체중 : 사람들의 키, 체중은 평균을 중심으로 멀어질수록 사례수가 적어지는 정규분포를 따른다. ${(2)}$ 시험 성적 : 시험 점수는 보통 평균을 기준으로 극단적인 하한값(낮은 점수)와 극단적인 상한값(만점) 사이에서 정규분포를 그리는 경우가 많다. 3) 통계학적인 측면에서, 정규분포는 중심극한정리(Central Limit Theorem)라는 매우 강력한 이론의 토대이다. ${(1)}$ 중심 극한 정리는 현실에서 볼 수 있는 실현된 표본들의 평균을 많이 수집하면 수집할수록 모집단의 ..

이중적분 1) 다중적분에 들어가기 전에, 이변수 함수의 이중적분을 먼저 살펴보자 2) 이중적분은 이차원의 면을 누적하여 부피를 만들어내는 적분이다. $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)dxdy $$ 단, f(x,y)는 구간 ${a \leq y \leq b}$, ${c \leq x \leq d}$에서 적분 가능해야한다. ${(1)}$ 일변수 함수의 적분의 선을 더해 면을 구성하는것에서 한단계 더 더 나아간 것이다. 일변수함수의 적분은 선을 모아 면을 만드는 적분이었다. 이중적분은 면을 더해 부피를 만든다. 미분소 직사각형인 $\Delta x \cdot \Delta y = A$를 z방향으로 늘린 직육면체를 도형의 모든 공간에 대하여 누적한다. 3) 이중적분의 성질 $({1)}$ 함수의..

선형 근사1) 일변수에서의 선형근사는 다음과 같이 구했다.$f(x) \approx f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$2) 이를 다변수로 확장하면 아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있다.$f(x,y) = f(x_{0},y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_{0})$다변수 함수의 뉴턴법1) 일변수 함수의 뉴턴법인 $x_{n+1} = x_{n} + \frac{f(x)}{f'(x)}$ 를 다변수 미적분으로 확대한 방법론2) 이변수 누턴법에 대하여 먼저 고려해보자${(1)}$ 함수가 두개이고, 변수도 두개인 경우를 상정하자.(다변수 뉴턴법은 기본적으로 변수보다 방정식의 갯..

다변수 함수의 연쇄법칙 1) 다변수 함수가 2차 이상의 깊이로 매개변수화 됐을 때를 가정하자. 예를 들면 아래와 같은 상황이다 ${(1)}$ $f[x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]$ 일 때, $x_{1} = x_{1}(t)$, ..., $x_{n} = x_{n}(t)$ -. 즉, $x_{1}, ..., x_{n}$ 가 2차 깊이의 t로 매개화된 상황이다. ${(2)}$ 이 경우, 매개변수 t의변화가 원함수에 영향을 주는 정도를 파악하기 위한 미분법이 필요하다. ${(3)}$ 이와 같은 미분을 $\frac{\partial f}{\partial t}$로 정의할 때 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{df}{dt} = [\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \fr..

편미분이란?1) 일변수 함수 $f(x)$가 아니라, 두 개 이상의 변수를 입력으로 받는 함수 $f(x_{1}, ..., x_{n}$이 존재할 떄${(1)}$ 이 함수에 대한 미분을 어떻게 구할것인가에 대한 문제가 생긴다.${(2)}$ 이 함수에 대하여 오직 한 개의 변수(ex, $x_{1}$의 영향에 대해서만 관심을 갖고 나머지 변수에 대해서는 일단 관심을 끄기로 한다면, 이것을 우린 편미분이라고 부른다.  ${(3)}$ 엄밀하게 정의한 편미분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.$\frac{\partial f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})}{\partial x_{1}} = lim_{x_{1} \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_{1}..