문과생 네버랜드의 데이터 창고

행렬식이란? 1) 행렬식이란 행렬의 성질을 결정짓기(determinent)위해 n x n 정방행렬을 스칼라 값으로 대응시키는 함수이다. 2) 굉장히 두루뭉술한 설명이지만, 다음과 같은 성질을 파악하는데 활용된다. ${(1)}$ 행렬의 (선형독립)하는 기저로 이루어진 부분공간의 부피(혹은 넓이) -. (벡터곱과 행렬식)에서 설명한 경우는 2차원의 부분공간과 3차원의 부분공간의 부피(혹은 넓이)를 행렬식으로 구한 사례이다. -. (벡터곱과 행렬식) 4번을 보면 행렬식이 0인 경우를 서술했다. 이 경우는 선형대수학의 표현을 빌리면 일부 열공간이 선형독립하지 않아서(즉, 한 벡터가 다른 벡터들의 생성(Span)으로 표현될 수 있어서) 온전한 부분공간을 구성할 수 없고, 따라서 부피(혹은 넓이)가 0으로밖에 표현..

벡터곱이란? 1) 3차원 이하의 공간에서 정의되는 벡터의 곱 ${(1)}$ 기하학적으로 해석하면 이는 2차원에서는 평행사변형의 넓이를, 3차원에서는 육면체의 부피를 나타내는 값이다.(밑의 평행사변형과 벡터곱의 관계 참조) 2) 내적과는 달리, $A X B = |A||B||sin\theta|$의 관계가 성립된다. ${(1)}$ 이 때, 외적의 방향은 벡터 A와 B가 생성하는 평면(Hyperplane)에 수직 방향이다. 3) 벡터곱의 성질 ${(1)}$ 내적과 벡터곱의 덧셈은 각각의 벡터의 Norm의 제곱의 합이다. -. $|A \cdot B|^{2} + |A \ X \ B|^{2} = |A|^{2}|B|^{2}cos^{2}\theta + |A|^{2}|B|^{2}sin^{2}\theta\\|A|^{2}|B..

평면과 평면의 방정식 1) 일변수 함수인 $y=mx + b$에서 변수를 하나 더 추가한 이변수 함수로 확장한 것 ${(1)}$ 일변수 함수에서 $\frac{dy}{dx} = m$으로 간략하게 표현이 가능했으나, 변수가 추가되어 평면으로 확장된 경우 하나의 기울기를 갖는 평면은 매우, 무수하게 많으므로 추가 정보가 필요함 ${(2)}$ 평면을 단 하나로 고정하기 위해서는 다음의 정보가 필요 -. 어떤 평면 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$가 있다고 가정할 때, 이 평면을 고정하기 위해서는 그 평면을 결정지을만한 고유한 벡터가 필요 -. 평면에 대하여 고유한 벡터는 어떤 평면에 대하여 수직인 방향으로 뻗어나가는 '법선 벡터'를 고려 가능 -. 법선벡터는 그 평면에 대하여는 오직 하나만 존재하기 때문..

등비급수 1) 무한급수중의 하나로, 등비수열 $a_{n} = ax^{n}$의 수렴값을 보여준다. ${(1)}$ 이 때, 뒤에 등장하는 테일러전개의 논의를 위하여 a = 1이고, 이 수열이 수렴하는 경우만 다루고자한다 2) 다음의 과정을 거쳐서 등비급수의 수렴값을 알 수 있다. ${(1)}$ 우선, 다음의 식의 모든 항을 $x$에 대하여 미분한다. $$ \frac{d(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx} = 0 + 1+ 2x + 3x^{2} + ... \\ \frac{d^{2}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{2}} = 0 + 0 + 2 + 6x + ... \\ \frac{d^{3}(1 + x + x^{2} + x^{3} + ...)}{dx^{3}} = ..

복소수란? 1) 실수 + 허수로 구성된 수를 복소수라고 한다. ${(1)}$ 실수는 허수부가 0인 복소수라고 볼 수 있다. 2) 복소수의 사칙 연산은 아래와 같이 나타낼 수 있다. 사칙연산 규칙 예시 덧셈/뺄셈 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더하고 뺀다 $(3 + 2i) + (6 + 4i)\\ = 9 + 6i$ 곱셈 $i^{2} = -1$ 임에 유의하며 푼다 $(3 + 2i)(6+4i) \\ =18 + 12i + 8i + 8i^{2}\\ = 10 + 20i$ 나눗셈 허수부의 부호가 반대로 바뀐 켤레복소수를 이용한다 $\frac{3+2i}{6+4i}\\ = 3+2i \times \frac{1}{6+4i}\\ = 3 + 2i \times \frac{1}{6+4i} \cdot \frac{6-4i}{..

극좌표란? 1) 우리가 보통 익숙한 3차원의 표준 좌표계(데카르트 좌표계, 직교좌표계)는 x,y(+z)의 2~3개의 축으로 이루어진 좌표계이다. 2) 극좌표란 표준 좌표계에서 각도 $\theta$와 거리 $r$로 좌표를 변환하여 표현한 새로운 좌표를 의미한다. $(x,y)$를 가지는 표준 좌표계와 극좌표의 관계. $(x,y)$는 극좌표상에서 각도 $\theta$와 그 길이 $r$로 변환될 수 있다. 3) 표준좌표는 극좌표로 변환될 수 있고, 반대로 극좌표 또한 표준좌표로 변환될 수 있다. ${(1)}$ 변환을 수행하는 변환식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 표준좌표 극좌표변환$\rightarrow$ 극좌표 (x,y) $(\sqrt{x^{2} + y^{2}}, tan^{-1}\frac{y}{x})$ ($r..

로그함수란? 1) $y = b^{x}$라는 함수 관계를 정의할 때, 로그 함수란 $log_{b}(y) = x$이다. ${(1)}$ 즉, b라는 값에 어떤 x를 제곱했을 때 y가 나올까에 대하여 $f^{-1}(y) = x$인 관계를 갖는 함수가 로그함수이다. 2) 로그함수의 특성은 아래와 같다. ${(1)}$ $log_{b}(y \cdot z) = log_{b}(y) + log_{b}(z)$ 이다. -. $y=b^{x}$ 이고 $z=b^{u}$ 일때, $y \ cdot z = b^{x+u}$ 이다. -. 이 때, 로그를 취하면 $log_{b}(y \cdot z) = x + u$이고, 정의에 따라 $x = log_{b}(y)$이고 $u = log_{b}(z)$ 이므로 $$log_{b}(y \cdot z) =..

카이제곱 분포 1) $\alpha = \frac{r}{2}$, $\beta = 2$일 때의 감마분포를 가지는 확률변수 X를 카이제곱분포라고 한다. ${(1})$ 즉, 아래의 pdf를 가진다. $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2})\cdot 2^{\frac{r}{2}}} x^{(\frac{r}{2}-1)} \cdot e^{-\frac{x}{2}} & \text{ if } 0 < x < \infty\\ 0 & \text{ else } \end{cases}$ 2) 카이제곱분포의 MGF와 이를 이용한 기댓값, 분산은 아래와 같다. ${(1})$ $M(t) = (1-2t)^{-\frac{r}{2}}$, $t < \frac{1}{2}$ ${(2)}$ $E(x)$ ..