문과생 네버랜드의 데이터 창고

역함수란 무엇인가 1) 원함수의 정의역을 치역으로 갖는 함수를 다시 정의할 경우, 이 함수를 역함수라고 한다 2) 즉, $y = g(x)$ 이고, $x = f(y)$라고 할 때 $f(g(x)) = x$의 관계를 성립하도록 하는 $f(y)$를 역함수라고 하고, 역관계를 보다 엄밀하게 드러내기 위해 $$x = f(y) = g^{-1}(y)$$로 표현한다. 역함수의 성질 1) 역함수는 서로 역이 성립한다 ${(1)}$ 즉, $x = g^{-1}(y)$ 일 때 $y = g(x)$ 라고 한다면 $y = g(x)$ 일 때 $x = g^{-1}(y)$ 이다. 2) 역함수의 도함수와 원함수의 도함수의 곱은 1이다 ${(1)}$ $x = f(y) = g^{-1}(y)$ 라고 한다면 ${(2)}$ $\frac{f(g(x)..

시작 : 베르누이 분포 1) 이항분포는 베르누이 분포의 일반화 꼴이다. 따라서 시작은 베르누이 분포부터 확인해야한다 2) 표본공간이 성공($X(성공) = 1$) 혹은 실패($x(실패) = 0$)으로 이루어져 있는 이산형 분포 3) 이 때, 이항분포의 확률질량함수(PMF)는 아래와 같다 $p(x) = p^{x}(1-p)^{1-x} \quad where \ x = \{0,1\}$ 4) 기댓값과 분산은 $\mu$ $E(X) = \sum_{0}^{1} xp(x) = 0 \cdot p^{0}(1-p)^{1} + 1 \cdot p^{1} = P$ $var(x)$ $E[(X-\mu)^{2}]=\sum(x-\mu)^{2}p(x) = (1-p)^{2}p^{1}(1-p)^{0} + (0-p)^{2}p^{0}(1-p)^{1..

정의 1) 변수들이 서로 밀접하게 연관이 되어있어 한 변수만의 미분이 어려운 $f(x,y) = 0$꼴의 함수를 미분하는 방법 2) y를 x에 대해(혹은 x를 y에 대해) 명시적으로 풀지 않고도 연쇄 법칙을 이용해 미분이 가능하다 3) 일반적인 양함수 $f(x)$를 미분하는 방법과는 달리 기울기를 알기 위해선 x와 y의 두개의 값 모두가 필요하다 예시로 보는 음함수 미분법 1) $y^{5} + xy = 3$ 이라는 함수에 대해서, 이는 x와 y가 밀접하게 연관된 방정식이기 때문에 y에 대한 꼴로 정리하기가 어렵다(즉, 음함수이다) 2) 이 함수를 y에 대한 방정식으로 가정하고 x에 대해 미분을 하면 $\frac{y^{5} + xy}{dx}$ 는 연쇄법칙을 활용하여 $({1})$ $\frac{y^{5}}{d..

연쇄법칙 1) 합성함수의 미분법으로, 합성함수의 가장 내부에 있는 변수의 변화가 외부 함수의 변화에 어떤 정도의 영향을 미치는지를 기울기로 표현하는 것 2) 중간값 정리에 따라, $x \rightarrow \Delta x$ 일수록 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$는 점차 $\frac{dy}{dx}$로 수렴하고, 마찬가지로 외부 함수도 $y \rightarrow \Delta y$ 일수록 $\frac{\Delta z}{\Delta y}$는 점차 $\frac{dz}{dy}$로 수렴한다. 시스템으로서 z = f(g(x))와 그 미분의 그래프 3) 예시를 통한 정의는 아래와 같다. $g(x)$가 x에서 도함수가 존재하고 $f(y)$가 $y=g(x)$에서 도함수가 존재한다고 가정하자. 그러면 $z=..

정의 1) 다변량 확률변수에서 역변환이 정의 가능할 때(즉 역함수가 존재할 때) 역변환으로 함수를 재정의 하는것을 변환이라고 한다 2) $y_{1} = u_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})$, $y_{2} = u_{2}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$, ... , $y_{n} = u_{n}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$을 정의할 때 ${(1)}$ $x_{1} = w_{1}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, $x_{2} = w_{2}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$, ... ,$x_{n} = w_{n}(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})$이라는 역함수를 정의할 수 있으면 ${(2)}$ 함수와 역함수는 다음과 같은..

공분산 행렬 $\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\... \\x_{n} \end{bmatrix}$인 확률벡터를 정의하자. 1) 이 때, 확률변수 X의 평균 $\mu = E(x)$일 때, 분산-공분산 행렬 Cov(x) ${(1)}$ $Cov(x) = E[(x-\mu)(x-\mu)^{T}]$ = $[\sigma_{ij}]$ 이다. 즉 ${(2)}$ $\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\... \\x_{n} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \mu_{1}\\... \\ \mu_{n} \end{bmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\...

평균값 정리 1) 증분에 대한 전체적인 것(즉, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) 과 국소적인 것(즉, $\frac{dy}{dx}$)을 연결시키는 정리 2) 어떤 구간(예를 들면, 아래 그림의 0 ~ b까지의 구간)의 전체 기울기와 어느 한 지점의 순간 기울기($f'(c)$)가 일치되는 지점 c가 그 구간내에 반드시 존재한다는 정리이다. 3) 위와 같은 그래프를 갖는 함수 $f(x)$가 있다고 할 때 ${(1)}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(0)}{b-0}$ 일 때, 0 ~ b 구간내에서 이 함수의 기울기는 최종적으로 기울기가 0이다(함수값이 0에서 결국 0으로 간다). ${(2)}$ 순간적인 기울기 변화인 $\frac{dy}{dx} ..

정의 1) f(x) = 0에 도달하는 수렴 방식의 수렴방식의 반복법 2) 반복법 자체의 방법론은 아래와 같은 예시를 따른다. ${(1)}$ $F(X_{n}) = X_{n + 1}$의 무한 수열 ${(2)}$ 예를 들어, $cos(x_{0})$를 세 번 반복하면 ${(3)}$ $cos(cos(cos(x_{0})))$이 된다. 즉 계산기의 cos 버튼을 세 번 누르는것과 같다. ${(4)}$ 이 경우, $cos(0.7391)$에서 자기 자신과 같은 0.7391이 나오는데 이 지점이 바로 고정점이다. 반복법 $F(X_{n}) = X_{n + 1}$의 예시. 점차적으로 고정점 0.7391에 가깝게 다가가게 된다. ${(5)}$ 이 때, 총 이동 길이는 그 기울기인 $\frac{F(x)}{\partial x}$를..