문과생 네버랜드의 데이터 창고

표준 다변량 정규분포 1) 표준 다변량 정규분포의 pdf ${(1)}$ $z_{1}, ..., z_{n}$을 i.i.d이고 $N(0,1)$을 따르는 확률변수라고 할 때 -. 이 확률표본들의 확률벡터 Z 의 결합확률밀도함수는 i.i.d에서의 조건에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. $f_{z}(Z) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp(-\frac{z^{2}}{2}) = (\frac{1}{2\pi})^{\frac{n}{2}}exp(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}z_{i}^{2})$ -. 위 식을 벡터형식으로 고쳐서 다시 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다. $(\frac{1}{2\pi})^{\frac{n}{2}}exp(-\frac{1}{2}z^{..

정규분포란? 1) 정규분포는 현대 통계학의 추론, 검정 혹은 예측에 필수적인 역할을 담당하고 있는 가장 중요한 분포이다. 2) 온갖 자연계의 자연스러운 현상을 수치적으로 모델링이 가능하다는 장점이 있다. ${(1)}$ 키와 체중 : 사람들의 키, 체중은 평균을 중심으로 멀어질수록 사례수가 적어지는 정규분포를 따른다. ${(2)}$ 시험 성적 : 시험 점수는 보통 평균을 기준으로 극단적인 하한값(낮은 점수)와 극단적인 상한값(만점) 사이에서 정규분포를 그리는 경우가 많다. 3) 통계학적인 측면에서, 정규분포는 중심극한정리(Central Limit Theorem)라는 매우 강력한 이론의 토대이다. ${(1)}$ 중심 극한 정리는 현실에서 볼 수 있는 실현된 표본들의 평균을 많이 수집하면 수집할수록 모집단의 ..

이중적분 1) 다중적분에 들어가기 전에, 이변수 함수의 이중적분을 먼저 살펴보자 2) 이중적분은 이차원의 면을 누적하여 부피를 만들어내는 적분이다. $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)dxdy $$ 단, f(x,y)는 구간 ${a \leq y \leq b}$, ${c \leq x \leq d}$에서 적분 가능해야한다. ${(1)}$ 일변수 함수의 적분의 선을 더해 면을 구성하는것에서 한단계 더 더 나아간 것이다. 일변수함수의 적분은 선을 모아 면을 만드는 적분이었다. 이중적분은 면을 더해 부피를 만든다. 미분소 직사각형인 $\Delta x \cdot \Delta y = A$를 z방향으로 늘린 직육면체를 도형의 모든 공간에 대하여 누적한다. 3) 이중적분의 성질 $({1)}$ 함수의..

선형 근사1) 일변수에서의 선형근사는 다음과 같이 구했다.$f(x) \approx f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$2) 이를 다변수로 확장하면 아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있다.$f(x,y) = f(x_{0},y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_{0})$다변수 함수의 뉴턴법1) 일변수 함수의 뉴턴법인 $x_{n+1} = x_{n} + \frac{f(x)}{f'(x)}$ 를 다변수 미적분으로 확대한 방법론2) 이변수 누턴법에 대하여 먼저 고려해보자${(1)}$ 함수가 두개이고, 변수도 두개인 경우를 상정하자.(다변수 뉴턴법은 기본적으로 변수보다 방정식의 갯..

다변수 함수의 연쇄법칙 1) 다변수 함수가 2차 이상의 깊이로 매개변수화 됐을 때를 가정하자. 예를 들면 아래와 같은 상황이다 ${(1)}$ $f[x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]$ 일 때, $x_{1} = x_{1}(t)$, ..., $x_{n} = x_{n}(t)$ -. 즉, $x_{1}, ..., x_{n}$ 가 2차 깊이의 t로 매개화된 상황이다. ${(2)}$ 이 경우, 매개변수 t의변화가 원함수에 영향을 주는 정도를 파악하기 위한 미분법이 필요하다. ${(3)}$ 이와 같은 미분을 $\frac{\partial f}{\partial t}$로 정의할 때 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{df}{dt} = [\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \fr..

편미분이란?1) 일변수 함수 $f(x)$가 아니라, 두 개 이상의 변수를 입력으로 받는 함수 $f(x_{1}, ..., x_{n}$이 존재할 떄${(1)}$ 이 함수에 대한 미분을 어떻게 구할것인가에 대한 문제가 생긴다.${(2)}$ 이 함수에 대하여 오직 한 개의 변수(ex, $x_{1}$의 영향에 대해서만 관심을 갖고 나머지 변수에 대해서는 일단 관심을 끄기로 한다면, 이것을 우린 편미분이라고 부른다.  ${(3)}$ 엄밀하게 정의한 편미분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.$\frac{\partial f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})}{\partial x_{1}} = lim_{x_{1} \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_{1}..

행렬식이란? 1) 행렬식이란 행렬의 성질을 결정짓기(determinent)위해 n x n 정방행렬을 스칼라 값으로 대응시키는 함수이다. 2) 굉장히 두루뭉술한 설명이지만, 다음과 같은 성질을 파악하는데 활용된다. ${(1)}$ 행렬의 (선형독립)하는 기저로 이루어진 부분공간의 부피(혹은 넓이) -. (벡터곱과 행렬식)에서 설명한 경우는 2차원의 부분공간과 3차원의 부분공간의 부피(혹은 넓이)를 행렬식으로 구한 사례이다. -. (벡터곱과 행렬식) 4번을 보면 행렬식이 0인 경우를 서술했다. 이 경우는 선형대수학의 표현을 빌리면 일부 열공간이 선형독립하지 않아서(즉, 한 벡터가 다른 벡터들의 생성(Span)으로 표현될 수 있어서) 온전한 부분공간을 구성할 수 없고, 따라서 부피(혹은 넓이)가 0으로밖에 표현..

벡터곱이란? 1) 3차원 이하의 공간에서 정의되는 벡터의 곱 ${(1)}$ 기하학적으로 해석하면 이는 2차원에서는 평행사변형의 넓이를, 3차원에서는 육면체의 부피를 나타내는 값이다.(밑의 평행사변형과 벡터곱의 관계 참조) 2) 내적과는 달리, $A X B = |A||B||sin\theta|$의 관계가 성립된다. ${(1)}$ 이 때, 외적의 방향은 벡터 A와 B가 생성하는 평면(Hyperplane)에 수직 방향이다. 3) 벡터곱의 성질 ${(1)}$ 내적과 벡터곱의 덧셈은 각각의 벡터의 Norm의 제곱의 합이다. -. $|A \cdot B|^{2} + |A \ X \ B|^{2} = |A|^{2}|B|^{2}cos^{2}\theta + |A|^{2}|B|^{2}sin^{2}\theta\\|A|^{2}|B..